Kiến thức cơ bản về Số phức

Số phức là 1 trong những nội dung quan trọng mà các em học sinh được học trong chương trình Toán Giải tích lớp 12. Để giúp các em có thêm tư liệu tham khảo và hiểu rõ hơn về số phức mời các em tham khảo tài liệu sau đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kiến thức cơ bản về Số phức ÑAÏISOÁ Số Phứcđịnh nghĩa số phức :Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó z = a + bi được gọi làsố phức. Số thực a được gọi là phần thực và số thực b được gọi làphần ảo của số phức z-Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z).-Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z).Định nghĩa số i :Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho i 2 = −1 Dạng đại số của số phứcHai số phức bằng nhau:Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và phầnảo tương ứng bằng nhau.Ví dụ : Cho z1 = 5 + 3i ; z 2 = a + 3i tìm tất cả các số thực m để z1 = z 2Giải : a = 5 z1 = z 2 ⇔ 5 + 3i = a + 3i ⇔  ⇔a =5 3 = 3Phép cộng và phép trừ của hai số phức :Cho hai số phức . z1 = a 1 + b1i và z 2 = a 2 + b 2i khi đóPhép cộng . a 1 + b1i + a 2 + b 2i = ( a 1 + a 2 ) + ( b1 + b 2 ) iPhép trừ . a 1 + b1i − ( a 2 + b 2i ) = ( a 1 − a 2 ) + ( b1 − b 2 ) iTóm lại :Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực và phần ảotương ứng.Ví dụ : Tìm phần thực và phần ảo của số phức . z = ( 3 + 9i ) + ( 6 + 5i ) 61 ÑAÏISOÁGiải : z = ( 3 + 9i ) + ( 6 + 5i ) = 12 + 14i ⇒ Re z = 12 ; Im z = 14Phép nhânCho hai số phức . z1 = a 1 + b1i và z 2 = a 2 + b 2i khi đóPhép nhân . ( a1 + b1i ).( a 2 + b 2i ) = ( a 1a 2 − b1b 2 ) + ( a 1b 2 + b1a 2 ) iTóm lại :Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu thức đại sốvới chú ý i 2 = −1Ví dụ : thực hiện phép tính đã cho và biểu diễn kết quả dưới dạng đại z = (1 − 2i )( 2 + i ) + 5i 2sốGiải : ( ) z = (1 − 2i )( 2 + i ) = (1 − 2i ) 4 + 4i + i 2 2 = (1 − 2i )( 3 + 4i ) = 3 − 2i − 8i 2 = 11 − 2iĐịnh nghĩa số phức liên hợp:Số phức z = a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi.Ví dụ: Tìm số phức liên hợp của số phức . z = ( 2 − 5i )(1 + 3i )Giải : z = ( 2 − 5i )(1 + 3i ) = 2 + i − 15i 2 = 17 + i vậy số phức liên hợp là z = 17 − iTính chất của số phức liên hợp:Cho z ,w là hai số phức z, w là hai số phức liên hợp z+z là một số thực z.z là một số thực 62 ÑAÏISOÁz=z khi z là một số thựcz+w = z+w zn = ( z) với n là số tự nhiên nz.w = z.wz=zPhép chia hai số phứccho z = a + bi , w = c + di (w ≠ 0) ta có . z a + bi ( a + bi )( c − di ) ac − adi + bci − bdi 2 = = = w c + di ( c + di )( c − di ) c2 + d 2 = ( ac + bd ) + ( bc − ad ) i = ac + bd + ( bc − ad ) i c2 + d2 c2 + d2 c2 + d 2( ta nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của mẫu ) Dạng lượng giác Imz 63 ÑAÏISOÁ b M(a;b) ≡ a + bi rTrục thực 0 ϕ Rez aĐịnh nghĩa Môdun của số phức:Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩanhư sau: Mod( z ) = r = a 2 + b 2 ký hiệu zvậy môdun của số z bằng khoảng cách từ điểm M biểu thị nó đến gốctọa độ .Ví dụ: Tìm môdun của số phức sau . z = 4 + 3iGiải : Ta có a = 4 , b = 3 vậy Mod(z) = 4 2 + 32 = 5Định nghĩa argument của số phức :  a bi z = a + bi = a 2 + b 2   2 +    a +b a 2 + b2 2 Trong đó . 64 ÑAÏISOÁ   r = a + b 2 2   a cos ϕ = ⇒ z = r ( cos ϕ + sin ϕi )  a + b2 2  b sin ϕ =   a 2 + b2là dạng lượng giác ...