Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Levy - Steinitz về miền tổng của chuỗi

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Levy - Steinitz về miền tổng của chuỗi gồm có 4 chương với những nội dung về kiến thức chuẩn bị; định lý Levy - Steinitz trong không gian hữu hạn chiều; định lý Levy - Steinitz trong không gian vectơ Tôpô lồi địa phương khả mêtric; định lý Levy - Steinitz trong không gian hạch.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Levy - Steinitz về miền tổng của chuỗi BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Phạm Ngọc Tuấn ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZVỀ MIỀN TỔNG CỦA CHUỖI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2009 LỜI CẢM ƠN Qua luận văn này em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. ĐậuThế Cấp, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp em tích lũy nhữngkinh nghiệm bổ ích để hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình học tập, em đã nhận được những kiến thứcquý báu từ các thầy cô trong khoa Toán-Tin trường Đại học Sư PhạmTp.HCM và trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên. Qua luận văn này emxin gửi đến các thầy cô lòng tri ân thành kính nhất. Cuối cùng, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tạiphòng KHCN-SĐH đã giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và khithực hiện luận văn này. *********************** Phạm Ngọc Tuấn MỤC LỤC trangMỞ ĐẦU 1Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 1.1 Ánh xạ hạch và không gian hạch . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Các kiến thức cơ bản về chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Một số kiến thức bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Chương 2 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 15Chương 3 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ LỒI ĐỊA PHƯƠNG KHẢ MÊTRIC 24Chương 4 ĐỊNH LÝ LEVY-STEINITZ TRONG KHÔNG GIAN HẠCH 36KẾT LUẬN 49TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 1 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết chuỗi đóng một vai trò quan trọng trong giải tích toán học.Các loại chuỗi khác nhau như chuỗi số, chuỗi hàm hay chuỗi vectơ đượcáp dụng khá nhiều trong các lĩnh vực toán học như là công cụ để xấp xỉmột số đối tượng toán học. Ví dụ như chuỗi lũy thừa cho phép ta xấpxỉ các hàm giải tích bằng các đa thức. Nhờ có chuỗi Fourier các hàmtuần hoàn có thể được xấp xỉ bởi các đa thức lượng giác hoặc đa thứcmũ. Nghiệm của các bài toán vật lý, hóa học... được trình bày dưới dạngchuỗi của các hàm đặc biệt. Trong giải tích, khái niệm chuỗi nảy sinh khi lấy tổng của vô hạnphần tử và các tính chất đơn giản nhất của tổng hữu hạn cũng đúngtrên chuỗi. Ngoại trừ tính chất giao hoán, khi thay đổi thứ tự các sốhạng trong một chuỗi thì tổng có thể thay đổi. Hai câu hỏi được đặtra là: thứ nhất, đối với những chuỗi nào tổng của chuỗi sẽ không thayđổi khi thay đổi thứ tự các phần tử của tổng; thứ hai, nếu tổng củachuỗi thay đổi thì sẽ thay đổi như thế nào? Hai câu hỏi trên được đặt ravà được giải quyết bởi Riemann đối với chuỗi số thực. Cụ thể trong Rmiền tổng của chuỗi hoặc chỉ là một điểm hoặc toàn bộ R. Trong khônggian hữu hạn chiều (với số chiều lớn hơn 1) Levy-Steinitz đã chứng minhđịnh lý Giả sử chuỗi ∞ P i=1 xi hội tụ về s trong không gian m chiều E. 2 PKhi đó miền tổng của chuỗi xi là đa tạp n chiều (n ≤ m), cụ thể là PDS( xi ) = s + Γ◦ . Định lý này cho ta một miêu tả đầy đủ về miềntổng của chuỗi hội tụ là một đa tạp tuyến tính, lồi và đóng. Sau đóW. Banasczyk, J. Bonet, A. Defant... đã chứng minh các kết quả tươngtự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiều. Nhận thấy ýnghĩa của Định lý Levy-Steinitz, chúng tôi chọn Định lý Levy-Steinitzvề miền tổng của chuỗi làm chủ đề cho luận văn thạc sĩ.2. Mục đích Nghiên cứu Định lý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều vàcác định lý tương tự Định lý Levy-Steinitz trong không gian vô hạn chiềuvới điều kiện thu hẹp được đặt lên chuỗi hoặc lên không gian.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày miền tổng của chuỗi trongkhông gian Rn , không gian vectơ tôpô lồi địa phương khả mêtric (kèmtheo điều kiện được đặt lên chuỗi) và không gian hạch. Luận văn gồm4 chương, chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về không gianhạch, chuỗi và một số kiến thức bổ sung. Trong chương 2 trình bày Địnhlý Levy-Steinitz trong không gian hữu hạn chiều Rn . Giả sử ∞ P k=1 xk làmột chuỗi trong không gian Rn . Theo Định lý Riemann, nếu n = 1 thìDS( ∞ P k=1 xk ) = R với mọi chuỗi hội tụ có điều kiện trong R. Nhưng khin > 1, miền tổng của chuỗi hội tụ có điều kiện thì không nhất thiết làtoàn bộ không gian. Chẳng hạn, nếu tất cả các số hạng của một chuỗi 3hội tụ có điều kiện điều phụ thuộc tuyến tính vơi vectơ e thì miền tổngcủa chuỗi vẫn phụ thuộc tuyến tính với e. Trong trường hợp này miềntổng của chuỗi là đường thẳng đi qua 0 và e. Định lý Levy-Steinitz chochúng ta một mô tả đầy đủ về miền tổng của chuỗi trong không gianhữu hạn chiều (miền tổng của chuỗi là một đa tạp tuyến tính, và dođó đóng và lồi). Trong không gian vô hạn chiều chúng ta mong muốncó những kết quả tương tự Định lý Levy-Steinitz. Tuy nhiên chúng takhông thể dùng các kết quả trong không gian hữu hạn chiều để áp lênkhông gian vô hạn chiều. Trong [6] có những ví dụ về miền tổng củachuỗi hội tụ có điều kiện trong không gian vô hạn chiều có thể chỉ làmột điểm; không lồi; không đóng hoặc không tuyến tính... Vì vậy để đạtđược định lý tương tự Định lý Levy ...