Luận văn Thạc sĩ Toán học: K-Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD-Phân lá

Luận văn Thạc sĩ Toán học: K-Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD-Phân lá trình bày một số vấn đề cơ bản về C* đại số và K –lý thuyết của chúng; Tôpô phân lá và K – lý thuyết của phân lá; k – lý thuyết của các thành phần Reeb, vài phân lá trên xuyến T2 và phân lá kim cương thực.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: K-Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD-Phân lá BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hiếu ThảoChuyên ngành : Hình học và tôpôMã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆUA B hợp rời của A và BAb phạm trù các nhóm abenA hoặc A   đại số bổ sung đơn vị của   đại số AA  A H tích xiên của A và H bởi tác động C( X )   đại số các hàm phức liên tục trên XC  (V , F )   đại số liên kết với phân lá (V , F )Cc ( H , A) các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào AC0 (, A)   đại số các hàm liên tục từ  vào A triệt tiêu ở vô cùngC0 ( X )   đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùngExt ( B, J ) KK  nhóm của KasparovS không gian đối ngẫu của không gian S không gian HilbertIndex A chỉ số của *  đại số Ak ( )   đại số các toán tử compact trên K i ( A) K i  nhóm của   đại số A(  ) các toán tử tuyến tính bị chặn trên L2 () không gian các hàm thực bình phương khả tíchM n ( A) đại số các ma trận vuông cấp n trên đại số A2 xuyến hai chiều(V , F ) phân lá F trên đa tạp VXˆ compact hóa một điểm của không gian X MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đa tạp phân lá là một nhánh tương đối mới mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân.Mặc dù ở địa phương, mọi phân lá k chiều trên một đa tạp vi phân n chiều đều hoàntoàn giống nhau  cụ thể là chúng luôn có “dáng điệu” của phân lá tầm thường nhưngtrên toàn cục thì chúng có thể rất khác nhau. Bởi thế, khi nghiên cứu phân lá, ta chỉquan tâm đến các vấn đề toàn cục, tức là nghiên cứu những yếu tố bất biến qua cácphép tương đương tôpô. Chẳng hạn như tìm hiểu số các lá đóng, lá tuần hoàn, lá trùmật hay lá compact, ... của từng kiểu phân lá. Một yếu tố phản ánh khá tốt thông tin của phân lá (V , F ) là không gian lá V Fcủa phân lá đó. Tuy nhiên, dù các đa tạp phân lá có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân),nhưng không gian lá của nó thường lại rất xấu, có thể không Hausdorff, thậm chí làkhông nửa tách. Mà ta đã biết, khi tính K  lý thuyết hình học của một không gian tôpôX , ta hay thay X bởi một   đại số C0 ( X ) . Với tôpô xấu của V F thì cách thaythế này không còn phù hợp vì C0 (V F ) không cho ta thông tin cần thiết về phân lá(V , F ) . Đây là một cản trở lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục nhược điểm trên, Alain Connes đã liên kết chính tắc một phân lá(V , F ) với một   đại số C  (V , F ) nhưng vẫn cho ta thông tin cần thiết về phân lá(V , F ) . Cần chú ý rằng trong trường hợp phân lá cho bởi phân thớ p : V  B (cókhông gian lá là B với tôpô tốt) thì K  lý thuyết của C  (V , F ) chính là K  lý thuyếthình học của không gian lá V F  B như thông thường. Khái niệm   đại số có nguồn gốc vật lý và do Gelfand – Naimark đưa ra năm1943. Việc mô tả các   đại số cũng hết sức khó khăn. Một trong những phươngpháp mô tả hiệu quả các   đại số là phương pháp K  hàm tử do Đỗ Ngọc Diệp đưara vào năm 1974. Nhờ phương pháp này các nhà toán học đã mô tả được khá nhiều các  đại số. Việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết của mộtphân lá gọi là K  lý thuyết của phân lá đó. Ta đã biết K  lý thuyết của một số phân lá đơn giản đã được giải quyết. Năm1980, Pimsner và Veiculeseu đã tính K  lý thuyết của phân lá Kronecker. Ngay sauđó,   đại số liên kết của phân lá Reeb trên S 3 cũng được mô tả. Năm 1984, A. M.Torpe đã giải quyết cho các phân lá Reeb trên 2 . Đến năm 1990, Lê Anh Vũ cũngthành công trong trường hợp phân lá tạo bởi các K  quĩ đạo chiều cực đại của lớpnhóm Lie MD 4 . Sau khi tìm hiểu và nhìn nhận vấn đề, chúng tôi thấy thú vị với việc mô tả  đại số tương ứng của phân lá bằng phương pháp K  hàm tử và nó vẫn là việclàm mở đối với nhiều phân lá. Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp này, chúng tôi quyếtđịnh tìm hiểu công việc trên và đã chọn đề tài “ K  Lý thuyết đối với không gian phânlá của phân lá Reeb và một vài MD  phân lá”. 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu kĩ thuật tính K  lý thuyết của Torpecho một số phân lá đơn giản trên trụ [0,1]  S 1 và trên xuyến 2 . Ngoài ra, vì các phânlá này đều nhận được bởi tác động của nhóm Lie  và khi tính K  lý thuyết thì các  đại số liên kết với chúng đều nhúng được chính tắc vào một mở rộng một tầng.Nên chúng tôi đã mở rộng hơn phạm vi các phân lá bởi việc tìm hiểu công trình của LêAnh Vũ về K  lý thuyết của phân lá kim cương thực. Phân lá này là một MD  phânlá được cho bởi tác động của  2 và   đại số của nó không nhúng được vào một mởrộng đơn mà phải dùng đến dãy mở rộng lặp hai tầng. Về phương pháp nghiên cứu, trước tiên chúng tôi phân tích một số công trìnhnghiên cứu có liên quan để khái quát được con đường chung của quá trình tính K  lýthuyết của một phân lá. Sau đó chúng tôi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung đó chomột số phân lá cụ thể để từ đó vấn đề được sáng tỏ hơn. 3. Ý nghĩa khoa học của luận văn Đến nay số lượng công trình về tính K  lý thuyết của phân lá còn khá khiêmtốn, K  lý thuyết của rất nhiều phân lá vẫn chưa được nghiên cứu. Do vậy, luận văn ítnhiều cung cấp được các kiến chuẩn bị hữu ích cho những độc giả mới bắt đầu tìm hiểuK  lý thuyết của phân lá. Đồng thời với việc mô tả các   đại số bằng phương phápK  hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử. 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm p ...