Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về bài toán cực trị trong hình học tổng hợp

Mục đích nghiên cứu của đề tài luận văn là: Sưu tầm, nghiên cứu và trình bày một cách có chọn lọc về bài toán cực trị trong hình học tổng hợp để hình thành một tài liệu giảng dạy chuyên đề mồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về bài toán cực trị trong hình học tổng hợp ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ PHƯƠNG THẢO VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢPLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ PHƯƠNG THẢO VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢPCHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN-2019Mục lục TrangMở đầu 1Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tổng quan về bài toán hình học tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số nguyên lý, phương pháp giải toán thường gặp trong lời giải các bài toán hình học tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Một số nguyên lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Phương pháp đếm hai lần (Double Counting) . . . . . . . 6 1.3 Một số ví dụ về bài toán hình học tổ hợp . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Các bài toán đếm trong hình học tổ hợp . . . . . . . . . 8 1.3.2 Các bài toán chứng minh trong hình học tổ hợp . . . . . 8Chương 2 Một số bài toán về cực trị trong hình học tổ hợp 22 2.1 Bài toán về tìm giá trị lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Bài toán về tìm giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Bài toán liên quan đến cực trị hình học tổ hợp . . . . . . . . . . 43Kết luận 46 iiMở đầu Từ thời xa xưa vấn đề toán học được ra đời từ rất sớm từ các hoạt độngthực tiễn của con người, trong đó có tư duy về hình học tổ hợp, ví dụ: Ở nhữngnước châu Á, trong số đó có Ấn Độ, các nhà toán học Jaina đã nghiên cứu radãy số, các dãy cấp số, hoán vị và tổ hợp; Thời Trung Quốc cổ đại, người tađã biết đến biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là “hình vuông thần kì”; Thời kì cổđại ở Hy Lạp đã có những nhà triết học thông thái đặc biệt là nhà triết họcKxenorat đã biết từ những chữ cái cho trước lập thành bảng chữ số. . . Nhưngphải đến khoảng thế kỉ XVII – XVIII với những công trình nghiên của nhưPascal, Fermat, Euler. . . thì toán học tổ hợp mới thực sự hình thành như mộtnhánh của toán học. Toán tổ hợp có tính hấp dẫn, lý thú của toán học nóichung và toán sơ cấp nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và đượcứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. . . Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu toán tổ hợp, là những bàitoán hay, thú vị và thường xuyên xuất hiện trong các cuộc thi học sinh giỏiQuốc gia, Olympic toán quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học,cao đẳng trong cả nước. Ở Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyênđã có học viên Lê Thị Bình đã làm luận văn Thạc sĩ với đề tài “Các bài toánvề hình học tổ hợp” nhưng chưa luận văn đề cập một cách hệ thống đến dạngtoán “Cực trị trong hình học tổ hợp”. Chính vì với mong muốn tìn hiểu sâu vềcác toán cực trị trong hình học tổ hợp, em đã chọn đề tài “Các bài toán cựctrị hình học tổ hợp” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình. Mục đích nghiên cứu của luận văn được xác định là: Sưu tầm, nghiên cứuvà trình bày một cách có chọn lọc về bài toán cực trị trong hình học tổ hợpđể hình thành một tài liệu giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi. Nội dung chính của luận văn được trình bày thành hai chương:Chương 1: Trong chương này, luận văn trình bày một số nguyên lý và phươngpháp thường gặp trong các lời giải của bài toán hình học tổ hợp, kèm theo cácví dụ, các bài tập minh họa.Chương 2: Nội dung chương 2 được dành riêng để trình bày lời giải của mộtsố bài toán cực trị hình học tổ hợp dành cho học sinh khá, giỏi và được sắp 1xếp theo hai dạng chính là: Bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất, tìmgiá trị nhỏ nhất trong hình học tổ hợp. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Trịnh Thanh Hải. Em chânthành cảm ơn thầy Trịnh Thanh Hải đã tận tình hướng dẫn em triển khai đềtài của luận văn này. Em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè cùng cácanh chị đã tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài này. Tuy nhiên điều kiện về năng lực bản thân còn hạn chế, luận văn chắc chắnkhông tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiếncủa các thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để bài luận văn của em được hoànthiện hơn. Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Học viên Đỗ Phương Thảo 2Chương 1Kiến thức chuẩn bị1.1 Tổng quan về bài toán hình học tổ hợp Trước tiên, luận văn xin nhắc lại một vài dạng toán tổ hợp được trình bàytrong luận văn: (i) Bài toán cực trị tổ hợp: Dạng 1: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất (lớn nhất) sao cho mọi tập Amà | A |= k là hữu hạn đều có tính chất T nào đó.Ví dụ 1.1.1. Gọi A là tập tất cả các số tự nhiên lẻ không chia hết cho 5 vànhỏ hơn 30. Tìm số k nhỏ nhất sao cho mỗi tập con của A gồm k phần tử đềutồn tại hai số chia hết cho nhau?Ví dụ 1.1.2. Cho tập A gồm 16 số nguyên dương đầu tiên. Hãy tìm số nguyêndương k nhỏ nhất có tính chất: Trong mỗi tập con có k phần tử của A đều tồntại hai số phân biệt a, b sao cho a2 + b2 là số nguyên tố (VMO 2004). Với bài toán dạng này, chúng ta thường xét một tập A có tính chất đặcbiệt nào đó ...