Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề khảo sát hàm số

Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề khảo sát hàm số trình bày về đồ thị hàm số và các bài toán liên quan giúp học sinh cũng cố kiến thức về các bài toán khảo sát hàm số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi đại học môn Toán chuyên đề khảo sát hàm số WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s th hàm s vàcác bài toán liên quanA. KI N TH C C N NH1. Tính ơn i u c a hàm s1.1. nh nghĩa. Cho hàm s f xác nh trên K , v i K là kho ng, o n hay n a kho ng. Khi ó f ng bi n trên K ⇔ ( ∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )) . f ngh ch bi n trên K ⇔ ( ∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )) .1.2. i u ki n c n và Cho hàm s f có o hàm trên kho ng I . Khi ó f ng bi n trên I ⇔ f ′(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I và f ′(x ) = 0 ch t i m t s i m h u h n thu c I . f ngh ch bi n trên I ⇔ f ′(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I và f ′(x ) = 0 ch t i m t s i m h u h n thu c I . f là hàm h ng trên I ⇔ f ′(x ) = 0, ∀x ∈ I .2. C c tr c a hàm s2.1. i u ki n c n có c c trCho hàm s f có o hàm t i x 0 . N u hàm s f t c c tr t i x 0 thì f ′(x 0 ) = 0 .2.2. i u ki n có c c tr2.2.1. i u ki n th nh t. Cho hàm s f có o hàm trên kho ng (a;b) , x 0 ∈ (a;b) . Khi ón u f ′(x ) i d u khi x qua x 0 thì f t c c tr t i x 0 . x x0 x x0 f ′ (x ) 0 f ′ (x ) 0 f (x ) C f (x ) C www.MATHVN.com 1 WWW.MATHVN.COM Kh o sát hàm s2.2.2. i u ki n th hai. Cho hàm s f có o hàm c p m t trên (a;b) ch a x 0 , f ′(x 0 ) = 0và f ′′(x 0 ) ≠ 0 . Khi ó f ′′(x 0 ) < 0 ⇒ f tc c i t i x0 , f ′′(x 0 ) > 0 ⇒ f t c c ti u t i x 0 .Chú ý. Ta thư ng s d ng i u ki n th hai trong các bài toán có yêu c u liên quan nc ctr t i nh ng i m c th cho trư c.2.3. ư ng th ng qua hai i m c c tr2.3.1. Hàm s y = f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) , (C )Gi s th (C ) có hai i m c c tr A (x A; yA ) , B (x B ; yB ) . Th c hi n phép chia a th c f (x ) chof ′(x ) , ta ư c f (x ) = g (x ).f ′(x ) + αx + β . Khi ó ta có yA = f (x A ) = g (x A ). f ′(x A ) + αx A + β = αx A + β ; =0 yB = f (x B ) = g (x B ). f ′(x B ) + αx B + β = αx B + β . =0Suy ra A, B ∈ ∆ : y = αx + β nên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th (C ) . ax 2 + bx + c2.3.2. Hàm s y = f (x ) = (a ≠ 0) , (C ) dx + eGi s th (C ) có hai i m c c tr A (x A ; yA ) , B (x B ; yB ) . t u(x ) = ax 2 + bx + c , u ′(x )v(x ) − u(x )v ′(x )v(x ) = dx + e . Khi ó f ′(x ) = 2 .N u f t c c tr t i x 0 thì   v(x ) u(x 0 ) u ′(x 0 ) u ′(x 0 ) u ′(x 0 )v(x 0 ) − u(x 0 )v ′(x 0 ) = 0 ⇔ = hay f (x 0 ) = . v(x 0 ) v ′(x 0 ) v ′(x 0 ) 2ax A + b 2ax B + b 2ax + bDo ó ta có yA = f (x A ) = và yB = f (x B ) = . Suy ra A, B ∈ ∆ : y = d d dnên ∆ là ư ng th ng qua hai i m c c tr c a th (C ) .Chú ý. Ta thư ng s d ng thu t toán ư ng th ng qua hai i m c c tr i v i các bài toán liênquan n giá tr c c tr hay i m c c tr c a th hàm s .3. Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t ∀x ∈ D, f (x ) ≤ M   ∀x ∈ D, f (x ) ≥ m ...