Modum Cơ Sở Lý Thuyết Tập Hợp Và Logic Toán Phần 2

Các tập con những mảnh lôgic được kí hiệu bởi một, hai hoặc ba chữ. Chẳng hạn, V là tập hợp các mảnh hình vuông và XM là tập hợp các mảnh xanh mỏng. Lược đồ Ven của hai tập hợp này được cho trong Hình 15. Dễ thấy. V ∩ XM = {x : x là một mảnh vuông xanh mỏng} = {VBXM, VLXM}
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Modum Cơ Sở Lý Thuyết Tập Hợp Và Logic Toán Phần 2 Hình 14Chẳng hạn,VLĐD hay CBXMHình vuông lớn đỏ dày Hình chữ nhật bé xanh mỏng.Tập hợp tất cả các mảnh lôgic Điênétxơ được kí hiệu là L0Các tập con những mảnh lôgic được kí hiệu bởi một, hai hoặc ba chữ.Chẳng hạn, V là tập hợp các mảnh hình vuông và XM là tập hợp các mảnhxanh mỏng. Lược đồ Ven của hai tập hợp này được cho trong Hình 15. Dễthấy.V ∩ XM = {x : x là một mảnh vuông xanh mỏng} = {VBXM, VLXM} Hình 152.2. Hợp của các tập hợp Formatted: Heading03 a) Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp tạo nên bởi các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó, kí hiệu là A ∪ B (đọc là A hợp B). Từ định nghĩa của A ∪ B suy ra rằng: x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hoặc x ∈ B. Ví dụ 2.5 : Nếu A = {a, b, c, d, e}; B = {b, e, f, g} thì A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g} Ví dụ 2.6 : Hợp của tập hợp các số hữu tỉ và tập hợp các số vô tỉ là tập hợp các số thực. Hợp của tập hợp Z các số nguyên và tạp hợp Q các số hữu tỉ là tập hợp Q: Z ∪ Q = Q. Từ định nghĩa hợp của hai tập hợp suy ra rằng: x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A và x ∉ B. Ví dụ 2.7 : Xét tập hợp T các mảnh tam giác và tập hợp X các mảnh có màu xanh trong bộ các mảnh Lôgic Điênétxơ. Khi đó T ∪ X là tập hợp các phần tử thuộc T hoặc thuộc X. Đó là tập hợp các mảnh hình tam giác hoặc có màu xanh. Hình 16TUX là tập hợp các mảnh tam giác hoặc xanh.Một số tính chất của phép lấy hợp các tập hợpTừ định nghĩa của hợp các tập hợp dễ dàng suy ra:b) Với các tập hợp bất kì A, B, C, A ∪ B = B ∪ A,(i) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),(ii)(iii) φ ∪ A = A, A ∪ A = A.(iv)Đẳng thứ (ii) cho phép, khi lấy hợp của một số hữu hạn tập hợp, bỏ các dấungoặc chỉ thứ tự các phép lấy hợp.Quan hệ giữa bao hàm thức và phép lấy hợp được cho trong định lí sau:c) Với các tập hợp bất kì A, B, C, D, A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B,(i) Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∪ B ⊂ C,(ii)(iii) Nếu A ⊂ C và B ⊂ D thì A B ⊂ C ∪ D, A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B.(iv)Chứng minh(ii) giả sử A ⊂ C và B ⊂ C. Khi đó, nếu x ∈ A ⊂ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B.Do đó x ∈ C. Vậy A ∪ B ⊂ C. (iv) (⇒) Giả sử A ⊂ B. Khi đó, nếu x ∈ A ∪ B thì x B hoặc x A B, do đó x B. Vậy A B B. Mặt khác, theo (i), ta có B A B. Từ hai bao hàm thức vừa nêu suy ra A ∪ B = B. (⇐) Giả sử A ∪ B = B. Khi đó, theo (i), ta có: A ⊂ A ∪ B = B. Định lí sau nêu lên quan hệ giữa hai phép lấy hợp và giao của các tập hợp. d) Với các tập hợp bất kì A, B, C, A ∩ (A ∪ B) = A, (i) (A ∩ B) ∪ B = B, (ii) (iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (iv) Chứng minh (i) Vì A ⊂ A ∪ B nên A ∩ (A ∪ B) = A (theo (iv) trong 1.d)). (ii) Vì A ∩ B ⊂ B nên (A ∩ B) ∪ B = B (theo (iv) trong c) (iii) Giả sử x ∈ A ∩ (B ∪ C). Khi đó x ∈ A và x ∈ B ∪ C. Do đó x ∈ A và x ∈ B hoặc x ∈ C. Nếu x ∈ A và x ∈ B thì x ∈ A ∩ B. Do đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Tương tự, nếu x A và x C thì x ∪ A ∩ C. DO đó x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Vậy: A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (1) Đảo lại, nếu x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) thì x ∈ A ∩ B hoặc x ∈ A ∩ C. Nếu x ∈ A ∩ B thì x ∈ A và x ∈ B ⊂ B ∪ C; do đó x ∈ A ∩ (B ∪ C). Nếu x ∈ A ∩ C thì, chứng minh tương tự, ta cũng được x ∈ A ∩ (B ∪ C). Vậy: (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C) (2) Từ hai bao hàm thức (1) và (2) suy ra đẳng thức trong (iii) cần chứng minh: (iv) được chứng minh tương tự Công thức (iii) cho thấy phép hợp có tính phân phối đối với phép giao; công thức (iv) cho thấy phép giao có tính phân phối đối với phép hợp.2.3. Hiệu của hai tập hợp Formatted: Heading03 a) Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B, kí hiệu là A B (đọc là A trừ B). Từ định nghĩa của A B suy ra: x ∈ A B ⇔ x ∈ A và x ∉ B.Ví dụ 2.8 : Cho hai tập hợp: A = {a, b, c, d, e, f}, B = (c, e, g, h, k}.Khi đó: A B = {a, b, d, f}Ví dụ 2.9 :Gọi C là tập hợp các hình chữ nhật, T là tập hợp các hình thoi. Khi đó, C T là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình thoi (Hình 18). Hình 17 Hình 18Đó cũng chính là tập hợp các hình chữ nhật mà không phải là hình vuông.Ví dụ 2.10 :Hiệu của tập hợp các số thực và tập hợp các số hữu tỉ là tập hợp các số vôtỉ. Hiệu của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp Z là tập hợp rỗng: N Z = ...