Một số kinh nghiệm khi giải hệ phương trình

Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách gì biến đổi đi chăng nữa thì mụcđích cuối cùng của bạn cũng chuyển về phương trình một biến và giải phương trình vừathu được. Đó cũng là suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến là quy luật không chỉ trongtoán học mà cả trong cuộc sống chúng ta vẫn thường làm. Tóm lại, khi giải hệ phươngtrình thì chúng ta phải tìm cách làm giảm số ẩn của hệ để thuận lợi trong việc giải nó. Sauđây tôi xin nêu một số kinh nghiệm mà tôi có được...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số kinh nghiệm khi giải hệ phương trình MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRAO ĐỔI MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Khi giải hệ phương trình, dù bạn có dùng cách gì biến đổi đi chăng nữa thì mụcđích cuối cùng của bạn cũng chuyển về phương trình một biến và giải phương trình vừathu được. Đó cũng là suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến là quy luật không chỉ trongtoán học mà cả trong cuộc sống chúng ta vẫn thường làm. Tóm lại, khi giải hệ phươngtrình thì chúng ta phải tìm cách làm giảm số ẩn của hệ để thuận lợi trong việc giải nó. Sauđây tôi xin nêu một số kinh nghiệm mà tôi có được trong quá trình học tập và giảng dạy.1) Từ một phương trình rút một ẩn (hoặc biểu thức) theo ẩn còn lại ( theo một nhómbiểu thức khác). Nếu trong phương trình của hệ mà có một ẩn xuất hiện dưới dạng bậc nhất, thì ta cóthể rút ẩn đó theo ẩn còn lại và thế vào phương trình thứ hai của hệ và bạn cũng đừngngần ngại khi thấy rằng sau khi thực hiện phép thế, phương trình thu được có bậc khôngnhỏ. 2x 3 + y(x + 1) = 4x2 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình  . 4 6 2 5x − 4x = y Lời giải. Vì phương trình thứ nhất của hệ chỉ chứa y nên ta nghĩ đến việc rút y theo x vàthế vào phương trình thứ hai của hệ. 2x 2 (2 − x)Ta có: y = (Do x = −1 không là nghiệm của hệ) thay vào phương trình thứ hai x +1của hệ ta có : 4x 4 (2 − x)2 x = 0 ) (x 4 5 − 4x 2 = ⇔ 2 2 2 (x + 1)2 (5 − 4x )(x + 2x + 1) = 4(4 − 4x + x )   x = 0 ⇒ y = 0 x = 0 x = 0  ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 .⇔ 4 ⇔ 3 2 2  4x + 8x + 3x − 26x + 11 = 0 (x − 1)(2x − 1)(2x + 7x + 11) = 0    1 1 x = ⇒ y = 2 2  11Vậy hệ đã cho có ba cặp nghiệm: (x; y) = (0; 0), (1; 1), ( ; ) . 22Bình luận: Cách giải này có một ưu điểm là không cần phải mánh khóe gì cả mà chỉ cầnbiến đổi hết sức bình thường. Tuy nhiên, nó có một nhược điểm là nó chỉ giúp chúng tagiải quyết bài toán đó thôi, còn con đường để sáng tác ra bài toán đó thì cách giải trênkhông thể làm rõ được! Để hiểu rõ được nguồn gốc của bài toán và đó là cách mà tác giảGV: Nguyễn Tất Thu (0942444556) 1 MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNHđã sáng tác bài toán trên. 2x 3 + y(x + 1) = 4x 2 Cách giải thứ 2. Ta viết lại hệ như sau   y 2 + 4x6 = 5x4 Nhận thấy x = 0 ⇒ y = 0 , hay ( x; y) = (0; 0) là một nghiệm của hệ. y  2x + 2 ( x + 1) = 4 x y Với x ≠ 0 ta có hệ ⇔  . Đặt a = 2x, b = ta có được hệ: 2 x2  y  2  2  + 4x = 5  x  a  a + b( + 1) = 4 2  a + b 2 = 5 2 Đây là hệ đối xứng loại 1. Việc giải hệ này không mấy khó khăn.Quan lời giải trên, ta thấy con đường để chế tác ra những hệ kiểu này là xuất phát từ mộthệ đã biết thuật giải, chúng ta thay thế hình thức của các biến có mặt trong hệ và biến đổirút gọn ta thu được một hệ có hình thức hoàn toàn xa lạ với cái hệ ban đầu. x + y + xy = 5 Chẳng hạn: Từ hệ  2 (lưu ý hệ này có ít nhất 1 cặp nghiệm (1; 2) ) 2 x + y = 5  y và y bằng y 2 thì ta có hệ:Ta thay thế x bằng 3 2x y3 y + y2 + =5   2 3 3  y(y + 2x y + 1) = 10x  2x3 2x 3 . ⇔ 2 2 62 6 y  y (1 + 4x y ) = 20x  4  6 +y =5  4x  y(y 2 + 2x 3 y + 1) = 10x 3 ...