Một số tính chất co rút tuyệt đối, co rút lân cận tuyệt đối trong lớp các không gian Metric compact

Trong bài báo này chúng tôi chứng minh một số tính chất và định lý về co rút tuyệt đối và co rút lân cận tuyệt đối trong lớp các không gian metric compact.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số tính chất co rút tuyệt đối, co rút lân cận tuyệt đối trong lớp các không gian Metric compactTẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017MỘT SỐ TÍNH CHẤT CO RÚT TUYỆT ĐỐI, CO RÚT LÂN CẬNTUYỆT ĐỐI TRONG LỚP CÁC KHÔNG GIANMETRIC COMPACTNguyễn Thị Nga1, Phạm Chí Công2TÓM TẮTTrong bài báo này chúng tôi chứng minh một số tính chất và định lý về co rút tuyệtđối và co rút lân cận tuyệt đối trong lớp các không gian metric compact.Từ khoá: Co rút tuyệt đối, co rút lân cận tuyệt đối, không gian metric, không gianmetric compact.1. ĐẶT VẤN ĐỀVề tính co rút tuyệt đối, co rút lân cận tuyệt đối trên không gian metric đã được TạKhắc Cư - Nguyễn Nhụy đưa ra tương đối đầy đủ trong [1]. Trong bài báo này chúng tôichứng minh một số tính chất về co rút tuyệt đối trong lớp các không gian metric compact,đã được nêu nhưng chưa chứng minh.Định nghĩa 1.1. ([1]). Ánh xạ f : X  Y được gọi là r - ánh xạ nếu tồn tại ánh xạg : Y  X là nghịch đảo phải của f nghĩa là f g : Y  Y là ánh xạ đồng nhất trên Y .Định nghĩa 1.2. ([1]). Giả sử Y  X , ánh xạ f : X  Y liên tục gọi là phép co rútnếu f ( x)  x , x  Y . Khi đó ta nói f co X lên Y .Phép co rút là một trường hợp riêng của r - ánh xạ.Định nghĩa 1.3. ([1]). Tập con X 0 của không gian X được gọi là co rút của X nếutồn tại phép co rút từ X lên X 0 .Định nghĩa 1.4. ([1]). Tập con X 0 của không gian X được gọi là co rút lân cận củaX nếu X 0 là co rút của tập mở U mà X 0  U .Định nghĩa 1.5. ([1]). Tập A  X được gọi là co rút theo X vào tập B  X nếuánh xạ lồng i : A  X đồng luân với ánh xạ f : A  X sao cho f ( A)  B . Nếu B chỉgồm một điểm thì ta nói A co rút theo X . Trong trường hợp riêng i : X  X đồng luânvới f : X  X mà f ( x)  a  X thì ta nói X co rút điểm hay tự co rút.Định lý 1.6. ([1]). Nếu X tự co rút thì mỗi r - ảnh của nó cũng tự co rút.Bây giờ, chúng ta xét các không gian tôpô Hausdorff đặc biệt, đó là các không gianmetric. Ta viết X  M nếu X metric hóa được.12Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng ĐứcPhòng Hành chính tổng hợp, Trường Đại học Hồng Đức94TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017Định nghĩa 1.7. ([1]). Không gian X là co rút tuyệt đối, đối với tất cả các không gianmetric nếu X  M và với mỗi đồng phôi h : X  h( X ) , h( X ) đóng trong Y thì mỗi tậph ( X ) là co rút của Y . Khi đó ta viết X  AR( M ) hay X là AR(M) - không gianKhông gian X được gọi là co rút lân cận tuyệt đối với tất cả các không gian mêtricnếu X  M và với mỗi đồng phôi h : X  h( X ) , h( X ) đóng trong Y thì tập h( X ) là corút lân cận của Y . Khi đó ta viết X  ANR( M ) hay X là ANR(M) - không gian.Ta có các định lý sau:Định lý 1.8. ([1]). Giả sử rằng không gian X là hợp của hai không gian X 1 và X 2 ,X 0 là giao của hai không gian X 1 , X 2 . Khi đó:(i) X 0 , X 1 , X 2 là AR(M) - không gian thì X là AR(M) - không gian.(ii) X 0 , X 1 , X 2 là ANR(M) - không gian thì X là ANR(M) - không gian.(iii) X 0 , X là AR(M) - không gian thì X 1 , X 2 là AR(M) - không gian.(iv) X 0 , X là ANR(M) - không gian thì X 1 , X 2  ANR(M) - không gian.Định lý 1.9. ([1]). Tích đề các X   X n là AR(M) - không gian nếu và chỉ nếu X nn 1là AR(M) - không gian, với mọi n.Định lý 1.10. ([1]). Tích đề các X   X n là ANR(M) - không gian nếu và chỉ nếun 1mọi X n là ANR(M) - không gian và hầu hết X n là AR(M) - không gian.Định lý 1.11. ([6]). X là AR(M) - không gian khi và chỉ khi X  ANR(M) - khônggian và X co rút điểm.Định nghĩa 1.12. ([6]). Không gian X được gọi là co rút tuyệt đối hay là AR - khônggian và viết là: X  AR - không gian nếu X compact (không gian metric compact) và X làAR(M) - không gian.Không gian X được gọi là co rút lân cận tuyệt đối hay ANR - không gian và viết là X ANR - không gian nếu X compact và X là ANR(M) - không gian.Định lý 1.13. ([5]).(i) X là AR - không gian khi và chỉ khi X là r - ảnh của hình hộp Hinbe ( Q    0,1 ).(ii) X là ANR - không gian khi và chỉ khi X là r - compact ảnh của tập con mở củahình hộp Hinbe.Chú ý: r - compact ảnh là ảnh của r - ánh xạ và ánh xạ compact (nghĩa là biến một tậpbị chặn thành tập tiền compact).2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨUTính chất 2.1. ([6]). Mỗi r - ảnh của AR-không gian (hoặc ANR - không gian) là AR- không gian (hoặc ANR - không gian).95TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017Chứng minh.(i) Mỗi r - ảnh của ANR - không gian là ANR - không gian.Giả sử X là AR-không gian. Theo định lý 1.13 ([5]) ta có X = r( Q ), với r: Q  Xlà r - ánh xạ.Giả sử r : X  r (X) là r - ánh xạ. Khi đó ta có ánh xạ r o r: Q  r (X). Do r,r là r - ánh xạ nên r o r cũng là r - ánh xạ. Như vậy r (X) là r - ảnh của hình hộp Hinbenên ta có r (X)  AR - không gian.(ii) Mỗi r - ảnh của ANR - không gian là ANR - không gian.Giả sử X là ANR - không gian. Theo định lý 1.13 ([5]) ta có X  f (U) , trong đó Umở  Q , f là r - ánh xạ, compact từ U lên X ( f :U ...