Phương trình hàm cauchy tổng quát

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Phương trình hàm cauchy tổng quát" để nắm được các kiến thức cần thiết, cũng như vận dụng vào trong việc giải các bài tập phương trình hàm cauchy thật tốt.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình hàm cauchy tổng quátPHƯƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY TỔNG QUÁT Trong bài giảng này chúng tôi sẽ đề cập đến một lớp bài toán phương trình hàm dạngf ( x)  f ( y )  f ( x  y )  g H ( x, y ) ,(1)trong đó f và g là các hàm phải tìm còn H là hàm đã cho. Khi g  0 thì (1) trở thành phương trình hàm Cauchy. Các hàm số ở đây được xét là hàm số thực, tức là tập xác định và tập giá trị của nó là R hoặc tập con của R. 1. Phương trình hàm Cauchy và Pexider Xét phương trình Cauchyf ( x )  f ( y )  f ( x  y ).(2)Bài toán 1.1: Chứng minh rằng tất cả các hàm f liên tục trên R thỏa mãn phương trình Cauchy (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số bất kỳ. Bài toán 1.2: Chứng minh rằng tất cả các hàm f liên tục tại một điểm thỏa mãn phương trình Cauchy (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số bất kỳ. Bài toán 1.3: Chứng minh rằng tất cả các hàm f không âm (không dương) với x dương đủ nhỏ thỏa mãn (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số dương (âm) bất kỳ. Bài toán 1.4: Chứng minh rằng tất cả các hàm f bị chặn trên một khoảng đủ nhỏ thỏa mãn (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số. Bài toán 1.5: Chứng minh rằng tất cả các hàm f bị chặn một phía (bị chặn trên hoặc bị chặn dưới) trên một đoạn [a,b] cho trước và thỏa mãn (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số. Bài toán 1.6: Chứng minh rằng tất cả các hàm f đơn điệu thỏa mãn (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số. Bài toán 1.7: Chứng minh rằng tất cả các hàm f khả tích trên mọi đoạn hữu hạn và thỏa mãn (2) đều có dạng f ( x )  cx, ở đây c là hằng số bất kỳ. Định lý 1: Giả sử f : R  R là nghiệm của (2) với c  f (1)  0 . Khi đó ta có các khẳng định sau là tương đương. (i) f liên tục tại một điểm x 0 . (ii) f liên tục.1(iii) f là hàm đơn điệu tăng. (iv) f không âm với mọi x  0. (v) f bị chặn trên trên một đoạn hữu hạn. (vi) f bị chặn dưới trên một đoạn hữu hạn. (vii) f bị chặn trên (dưới) trên một tập bị chặn có độ do Lebesgue dương. (viii) f bị chặn trên một đoạn hữu hạn. (ix) f ( x )  cx. (x) f khả tích Lebesgue địa phương. (xi) f khả vi (xii) f đo được Lebesgue. Chú ý: Một câu hỏi đặt ra là có tại tại hay không những nghiệm không tuyến tính ( f ( x)  cx ) của phương trình Cauchy (2)? Lý thuyết của phương trình hàm đã có câu trả lời thông qua khái niệm cơ sở Hamel. Định nghĩa: Cho S là một tập con của R. Khi đó một con B của S được gọi là một cơ sở Hamel của S nếu với mọi số thuộc S đều biểu thị tuyến tính qua các phần tử của B một cách duy nhất với các hệ số là các số hữu tỷ. Định lý 2: Nghiệm tổng quát của phương trình Cauchy (2) có dạngf ( x )  r1 g (b1 )  r2 g (b2 )    rn f (bn ),trong đó B là cơ sở Hamel của R vàx  r1b1  r2 b2    rn bn , ri  Q và bi  B,và g là một hàm tùy ý xác định trên cơ sở Hamel B. Phương trình hàmf ( x  y )  h( x)  g ( y )(3)được gọi là phương trình Pexider. Bài toán 1.8: Chứng minh rằng nghiệm tổng quát của (3) làf (t )  A(t )  a  b, g (t )  A(t )  a, h(t )  A(t )  b,trong đó A là hàm bất kỳ thỏa mãn phương trình Cauchy (2) và a, b là các hằng số bất kỳ.2Bài toán 1.9: Cho f , g , h : R  R thỏa mãn (3), khi đó nếu một trong các hàmf , g , h là đo được hoặc bị chặn dưới, hoặc bị chặn trên, hoặc liên tục tại một điểmthì các hàm f , g , h là liên tục. Hơn nữa chúng có dạngf (t )  ct  a  b, g (t )  ct  a, h(t )  ct  b,ở đây a, b, c là các hằng số bất kỳ. 2. Phương trình hàm Cauchy tổng quát Trước hết chúng ta xét một số trường hợp đặc biệt của (1) + H ( x, y )  xy : (1) trở thànhf ( x)  f ( y )  f ( x  y )  g ( xy ).(4)+ H ( x, y ) 1 1  và g   f : x yf ( x )  f ( y )  f ( x  y )   f ( x 1  y 1 ).(5)+ H ( x, y ) xy ( x  y ) và g  f : x  y 2  xy2 xy ( x  y )  f ( x)  f ( y )  f ( x  y )  f  2  x  y 2  xy .   (6)Ta nhận thấy rằng các phương trình (4)-(6) là những dạng bài toán quen thuộc trong lý thuyết phương trình hàm. Nhận xét: + Nếu g là hàm hằng, tức là g ( x)  c thì với bất cứ hàm H đã cho nào (1) đều tương đương vớif ( x )  f ( y )  f ( x  y )  c.Rõ ràng nghiệm tổng quát của phương trình trên làf ( x )  A( x)  c,ở đây A(x ) là một hàm cộng tính bất kỳ, nghĩa là A(x ) là nghiệm của phương trình Cauchy (2). Vậy nghiệm của (1) trong trường hợp này làf ( x)  A( x)  c và g ( x )  c.+ Tương tự trong trường hợp H ( x, y )  c , công thức nghiệm của (1) làf ( x )  A( x)  g (c) và g là hàm bất kỳ3với A(x ) cũng là một hàm cộng tính tùy ý. Chúng ta gọi nghiệm ( f , g ) của phương trình (1) là tầm thường nếu f là afin, tức là f ( x )  A( x)  c, trong đó A(x ) là cộng tính và c là hằng số. + Để ý rằng các phương trình (4)-(6) là dạng phương trình (1) với H ( x, y ) có dạng sauH ( x, y )    ( x )   ( y )   ( x  y ) ,(7) chọn ( x )  x 2 , lnx, x 1vìdễthấy(4)-(6)tưongứngvớiviệcvà ...