Phương trình hàm nâng cao P3

Phương trình hàm nâng cao P3PHƯƠNG TRÌNH HÀMNguyễn Hoàng Ngải Tổ trưởng tổ Toán THPT Chuyên Thái Bình Một trong những chuyên đề rất quan trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi học sinh giỏi toán quốc gia, khu vực và quốc tế, đó là phương trình hàm, bất phương trình hàm. Có rất nhiều tài liệu viết về chuyên đề này. Tài liệu rất có ích trong việc luyện thi quốc gia, thi học sinh giỏi, chuẩn bị kiến thức cho các kỳ thi sắp tới....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình hàm nâng cao P3 2 abp ( p − c) 2ab C a+b+cCD = lc = = cos . Trong ®ã p = lμ nöa chu vi. a+b a+b 2 2• Tam gi¸c CAB x¸c ®Þnh, mét ®iÓm M x¸c ®Þnh trªn ®−êng th¼ng (AB) ta lu«n tÝnh ®−îc ®é dμi CM theo c¸ch t−¬ng tù.• §iÒu nμy khiÕn ta liªn hÖ víi kÕt qu¶ quen thuéc trong ®−êng trßn:Cho mét ®−êng trßn (C ) t©m O b¸n kÝnh R khi ®ã ta cã:M ë trong ®−êng trßn khi chØ khi MI − R < 0 ;M ë trªn ®−êng trßn khi chØ khi MI − R = 0 ;M ë ngoμi ®−êng trßn khi chØ khi MI − R > 0 .Nh− vËy nÕu mét ®−êng trßn (C) cã ph−¬ng tr×nh: f ( x, y ) = 0 vμ mét ®iÓm M ( xm , ym ) . f ( xm , ym ) = MI 2 − R 2 = P M /(c) lμ ph−¬ng tÝch cña ®iÓm M ®èi víi ®−êng trßn (C)Trong ®ã I lμ t©m ®−êng trßn vμ R lμ b¸n kÝnh cña nã; thÕ th× ta cã: f ( xm , ym ) < 0 t−¬ng øng ta cã ®iÓm M ( xm , ym ) n»m trong ®−êng trßn. f ( xm , ym ) > 0 t−¬ng øng ta cã ®iÓm M ( xm , ym ) n»m ngoμi ®−êng trßn. f ( xm , ym ) = 0 t−¬ng øng ta cã ®iÓm M ( xm , ym ) n»m trªn ®−êng trßn.§Æc biÖt víi hai ®−êng trßn: (C1 ) : f1 ( x, y ) = 0;(C2 ) : f 2 ( x, y ) = 0; kh«ng ®ång t©m th× ®−êngth¼ng:(Δ) : f1 ( x, y ) = f 2 ( x, y ) ChÝnh lμ trôc ®¼ng ph−¬ng cña hai ®−êng trßn ®ã.• §èi víi c¸c ®−êng Conic ta còng cã kÕt qu¶ t−¬ng tù:NÕu gäi ph−¬ng tr×nh Elip lμ: f ( x, y ) = 0 vμ ®iÓm M ( xm , ym ) th×:f ( xm , ym ) < 0 t−¬ng øng ta cã ®iÓm M ( xm , ym ) n»m trong miÒn chøa tiªu ®iÓm.f ( xm , ym ) > 0 t−¬ng øng ta cã ®iÓm M ( xm , ym ) n»m trong miÒn kh«ng chøa tiªu ®iÓm.f ( xm , ym ) = 0 t−¬ng øng ta cã ®iÓm M ( xm , ym ) n»m trªn Conic. 4 2 M2 M M1 F1 O F2-10 -5 5 -2 -4 6• §èi víi c¸c ®å thÞ hμm sè còng vËy (xem h×nh vÏ sau): 61Gäi (C) lμ ®å thÞ hμm sè: y = f ( x) . khi ®ã trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é tËp hîp c¸c ®iÓm M ( xm , ym )tho¶ m·n: i) ym − f ( xm ) > 0 lμ miÒn trªn ®å thÞ –miÒn g¹ch (vÝ dô M2) ii) ym − f ( xm ) < 0 lμ miÒn d−íi ®å thÞ –miÒn kh«ng g¹ch (vÝ dô M*) iii) ym − f ( xm ) = 0 lμ ®å thÞ (C) (vÝ dô M1) 6 y 4 f(x) = (x2+3⋅x)-1 2 M2 tren do thi O x -5 5 10 M* -2 M1 duoi do thiVÝ dô I.3:• Trªn mét ®o¹n th¼ng AB ta lÊy mét ®iÓm M bÊt kú khi ®ã víi mäi I trong kh«ng gian ta cã: IM ≤ Max{IA, IB} I A B ThËt vËy do tån t¹i cÆp ( p, q ) ∈ R 2 ; p + q = 1 ; p, q ∈ [ 0,1] Msao cho:IM = pIA + qIB nªn: IM =| IM |≤ pIA + qIB ≤ ( p + q ) Max{IA, IB} = Max{IA, IB} .§iÒu nμy dÉn ®Õn bμi to¸n cùc trÞ trªn ®a gi¸c låi:Ch¼ng h¹n:Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cã tam gi¸c ABC x¸c ®Þnh bëi giao c¸c ®−êng th¼ng:(d1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 ; (d 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 ; (d3 ) : A3 x + B3 y + C3 = 0 .§iÓm M ( xm , ym ) thuéc miÒn trong tam gi¸c ABC khi chØ khi ®ång thêi cã: f1 ( A) f1 ( M ) > 0; f 2 ( B) f 2 ( M ) > 0; f3 (C ) f3 ( M ) > 0 . á ®©y ta ký hiÖu: fi ( M ) = fi ( xm , ym ) = Ai xm + Bi ym + C .Theo trªn víi mäi ®iÓm I trong mÆt ph¼ng Oxy (kÓ c¶ trong kh«ng gian):IM ≤ Max{IA, IB, IC} .• KÕt qu¶ nμy cßn cã thÓ më réng cho n-gi¸c bÊt kú (tam gi¸c chØ lμ mét vÝ dô). 62• KÕt qu¶ nμy còng cã thÓ dïng tèt cho viÖc ph©n biÖt ®−êng ph©n gi¸c øng víi gãc nhän hay tï cña c¸c gãc do hai ®−êng th¼ng c¾t nhau mμ thμnh, còng nh− viÖc ph©n biÖt ph©n gi¸c trong hay ngoμi cña tam gi¸c. B 4 (d3) ...