Phương trình lượng giác không mẫu mực và cách giải

Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theođặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ởhầu hết các sách giáo khoa.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình lượng giác không mẫu mực và cách giải PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theođặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong phương pháp đã nêu ởhầu hết các sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác thể hiện tính không mẫu mực ởngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rấtbình thường nhưng cách giải lại không mẫu mực. Sau đây là những phương trình lượng giác có cách giải không mẫumực thường gặp. I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG Phương pháp này nhằm biến đổi phương trình lượng giác về dạngmột vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng các số hạng không âm)và vế còn lại bằng không và áp dụng tính chất: A = 0 A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 Bài 1. Giải phương trình: 3 tan 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 GIẢI 3 tan x + 4 sin x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 2 2 ⇔ 3 tan 2 x − 2 3 tan x + 1 + 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 = 0 ⇔ ( 3 tan x − 1) 2 + ( 2 sin x − 1) 2 = 0  3 tan x − 1 = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0  3 tan x =  3 ⇔ sin x = 1   2 π   x = 6 + mπ  ( m, n ∈ Z ) ⇔ π  x = + 2nπ   6 1 π + 2kπ (k ∈ Z ) ĐS x = 6 II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP Phương pháp này được xây dựng trên tính chất: Để giải phương trìnhf ( x) = g ( x) , ta có thể nghĩ đến việc chứng minh tồn tại A → R:f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) và g ( x) ≤ A, ∀x ∈ (a, b) thì khi đó:  f ( x) = A f ( x ) = g ( x) ⇔   g ( x) = A Nếu ta chỉ có f ( x) > A và g ( x) < A , ∀x ∈ (a, b) thì kết luận phươngtrình vô ngiệm. Bài 2. Giải phương trình: cos 5 x + x 2 = 0 GIẢI cos x + x = 0 ⇔ x = − cos x 5 2 2 5 Vì − 1 ≤ cos x ≤ 1 nên 0 ≤ x 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1  −π π  mà [ − 1,1] ⊂  ,  ⇒ cos x > 0, ∀x ∈ [ − 1,1] ⇒ − cos 5 x < 0, ∀x ∈ [ − 1,1]  2 2 Do x > 0 và − cos 5 x < 0 nên phương trình vô nghiệm. 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3. Giải phương trình: sin 1996 x + cos1996 x = 1 (1) GIẢI (1) ⇔ sin x + cos x = sin x + cos 2 x 1996 1996 2 ⇔ sin 2 x (sin 1994 x − 1) = cos 2 x(1 − cos1994 x ) (2) 2 sin x ≥ 0 ⇒ sin 2 x (sin 1994 x − 1) ≤ 0, ∀x Ta thấy  1994 sin x ≤1  2 cos x ≥ 0 ⇒ cos 2 x(1 − cos1994 x) ≥ 0, ∀x Mà  1 − cos x ≥ 0 1994   x = mπ  sin x = 0  x = π + mπ  sin x = ±1 sin x(sin x − 1) = 0 2 1994   2 Do đó (2) ⇔  2 ⇔ ⇔ (m, n ∈ Z ) π cos x(1 − cos x ) = 0 cos x = 0  1994    x = + nπ cos x = ±1  2   x = nπ  2 π Vậy nghiệm của phương trình là: x = k (k ∈ Z ) 2 π ĐS x = k (k ∈ Z ) 2 Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra cách giải nhanh chóngnhững phương trình lượng giác ở các dạng đặc biệt dưới đây: sin ax = 1  sin bx = 1 • sin ax. sin bx = 1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = −1  sin ax = 1  sin bx = −1 • sin ax. sin bx = −1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = 1  Cách giải tương tự cho các phương trình thuộc dạng: cos ax. cos bx = 1 cos ax. cos bx = −1 sin ax. cos bx = 1 sin ax. cos bx = −1 III ...