Phương trình vi phân

Phương trình vi phân hay phương trình sai phân là một phương trình toán học nhằm biễu diễn mối quan hệ giữa một hàm chưa được biết (một hoặc nhiều biến) với đạo hàm của nó (có bậc khác nhau). Phương trình sai phân đóng vai trò cực kì quan trọng trong kĩ thuật, vật lí, kinh tế và một số ngành khác. Ví dụ: một phương trình sai phân đơn giản
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình vi phân Phương trình vi phân Bài 8B PGS. TS. NGUY N XUÂN TH O Chương 7 H P HI TUY N V À CÁC HI N T Ư NG § 7.1. Nghi m cân b ng và tính n nh •S n nh c a nghi m kì d1. tv n i v i m t phương trình vi phân b t kì không ph i luôn tìm ư c nghi m • tư ng minh • Ngay c khi không tìm ư c nghi m tư ng minh thì v n c n nh n ư c nh ng thông tin có giá tr v nghi m; ch ng h n như tính không b ch n, b ch n, tu n hoàn c a nghi m, ... minh ho qua m t s ví d dư i ây Ví d 1. G i x(t) là nhi t c a m t v t th v i nhi t ban u x(0) = x0. th i i m t = 0 v t th ư c nhúng trong m t dung d ch có nhi t không i b ng A. Theo nh lý làm ngu i c a Newton thì dx = −k ( x − A ) (k > 0, k = const) dt • S d ng phương pháp tách bi n, nh n ư c nghi m x(t) = A + (x0 - A)e-kt rõ ràng r ng lim x (t ) = A t →∞ Hình 7.1.1. Các ư ng cong nghi m i n hình c a phương trình làm ngu i c a dx Newton = −k ( x − A ) dt 1 dx Ví d 2. Xét phương trình v tăng trư ng dân s = f (x) dt ó f ( x ) là t l sinh và t l t vong c a các cá th trong m t ơn v th i gian. ây là phương trình Otonom c p 1. • • N u f ( c ) = 0 thì có x(t) = c là nghi m. Nghi m h ng s c a m t phương trình vi phân còn ư c g i là nghi m cân b ng. • Như v y c trưng nghi m c a phương trình otonom c p 1 có th ư c mô t qua các i m kỳ d c a phương trình. dx Ví d 3. Xét phương trình Logistic = kx (M − x ) , ó k > 0, M > 0. dt • Có 2 i m kỳ d , ó là các nghi m x = 0 và x = M • Có nghi m (t m c 1.7) là Mx0 x(t ) = x0 + (M − x0 )e −kMt •T ó có x ( t ) = 0 và x ( t ) = M là nghi m cân b ng Hình 7.1.3. Các ư ng cong nghi m i n hình dx c a phương trình = kx (M − x ) dt2. S n nh c a các i m kỳ d i m kỳ d x = c c a 1 phương trình vi phân c p 1, otonom, ư c g i là n • nh n u ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho: |x0-c| < δ thì có |x(t) - c| < ε, ∀t > 0. i m kỳ d x = c ư c g i là không n nh, n u nó không là i m n nh. • 2Ví d 4. Hình 7.1.4. Các ư ng cong nghi m, ph u và vòi c a phương trình dx = 4x − x2 dt• Hình 7.1.4 cho cách nhìn r ng hơn v ư ng cong nghi m c a m t phươngtrình logistic v i k = 1 và M = 4. Chú ý r ng d i 3,5 < x < 4,5 (bao l y ư ng x =4) gi ng như cái ph u c a các ư ng cong nghi m: khi di chuy n t trái sangph i thì các ư ng cong nghi m chui vào ph u và l i trong ó. Ngư c l i, d i-0,5 < x < 0,5 (bao l y ư ng cong nghi m không n nh x = 0) gi ng như 1 cáivòi: các ư ng cong nghi m i vào d i r i sau ó i ra kh i d i. V y i m kỳ dx = M = 4 là i m n nh, còn i m kỳ d x = 0 là i m không n nh. dxVí d 5. Xét phương trình n /t t = kx ( x − M ) , x ( 0 ) = x0 . dt• Có 2 i m kỳ d là x = 0 và x = M tương ng v i các nghi m cân b ng x(t) = 0 và x(t) = M. Mx0• Nghi m tho mãn i u ki n ban u là x(t ) = x0 + (M − x0 )e kMt Hình 7.1.6. Các ư ng cong nghi m i n hình c a phương trình dx = kx ( x − M ) dt• M t d i h p quanh nghi m n nh x = 0 ư c xem như m t cái ph u, trongkhi m t d i d c theo ư ng cong nghi m x = M ư c xem như m t cái vòi c acác ư ng cong nghi m. Tính ch t các nghi m c a phương trình (9) ư c tóm 3 t t b i sơ pha Hình 7.1.7. i m kỳ d x = 0 là i m n nh, còn i m kỳ d x = M là i m không n nh. ...