SLIDE - DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2:Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SLIDE - DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 4 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của: d 2 f ( x0 , y0 )  f ( x0 , y0 )dx 2  2 f ( x0 , y0 )dxdy  f ( x0 , y0 ) dy 2  Adx 2  2 Bdxdy  Cdy 2 Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định  dấu của vi phân cấp 2: d 2 f  a11dx 2  2a12 dxdy  2a13dxdz  a22 dy 2  2a23dydz  a33 dz 2 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm  dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm  :V  R xác định như sau: với mỗi x  ( x1 , x2 ,..., xn )  V Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương 2 ( x)  a x  2a12 x1 x2  2a13 x1 x3  ...  2a1n x1 xn 11 1 2  a22 x2  2a23 x2 x3  ...  2a2 n x2 xn 2  a x  ...  2a3n x3 xn 33 3 .................... 2 a x nn n được gọi là dạng toàn phương trên V. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương: 3  : R  R, x  ( x1 , x2 , x3 ) 2  ( x)  2 x  4 x1 x2  6 x1 x3 1 2  x  2 x2 x3 2 2  8x 3 2 2 2  2 x  4 x1 x2  6 x1 x3  x  2 x2 x3  8 x 1 2 3 a11 2a12 a22 2a23 viªn: Phan §øc a33 2a13 Gi¶ng TuÊn §7: Dạng Toàn phương Định nghĩa: Cho dạng toàn phương ( x)  a11 x12  2a12 x1 x2  2a13 x1 x3  ...  2a1n x1 xn 2  a x  2a23 x2 x3  ...  2a2 n x2 xn 22 2 2  a x  ...  2a3n x3 xn 33 3 .................... 2 a x nn n khi đó, ma trận sau: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  a11 a12 ... a1n  a  a22 ... a2 n   12 A   ... ... ...  ...    a1n a2 n ... an n    Gọi là ma trận của dạng toàn phương  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương 3  : R  R, x  ( x1 , x2 , x3 ) 2 2 2  ( x)  2 x  4 x1 x2  6 x1 x3  x  2 x2 x3  8 x 1 2 3 Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là:   2 2 3  2 1 1  A     3 1 8    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2(x1, x2 , x3 )  x  6x1x2  3x  4x2 x3  5x 1 2 3  1 3 0   3 3 2  A     0 2 5   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2  ( x)  3 x  7 x  3 x  8 x1 x2  10 x1 x3  8 x2 x3 1 2 3  3 4 5   4 7 4  A     5 4 3    Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận:  1 2 3  ...