Số tự nhiên

Trong toán học, một số tự nhiên là một số nguyên dương (1, 2, 3, 4, ...) hoặc là một số nguyên không âm (0, 1, 2, 3, 4, ...). Nhìn chung, định nghĩa đầu thường được dùng trong lý thuyết số, trong khi định nghĩa sau được thích dùng hơn trong lý thuyết tập hợp và khoa học máy tính. Trong tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam[1], số tự nhiên được định nghĩa theo kiểu là số nguyên không âm. Số tự nhiên được dùng với hai mục đích chính: chúng có thể được dùng để đếm...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Số tự nhiên Số tự nhiênTrong toán học, một số tự nhiên là một số nguyên dương (1, 2, 3, 4, ...) hoặc là một sốnguyên không âm (0, 1, 2, 3, 4, ...). Nhìn chung, định nghĩa đầu thường được dùng tronglý thuyết số, trong khi định nghĩa sau được thích dùng hơn trong lý thuyết tập hợp vàkhoa học máy tính.Trong tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam[1], số tự nhiên được định nghĩa theo kiểu làsố nguyên không âm. Số tự nhiên được dùng với hai mục đích chính: chúng có thể đượcdùng để đếm (có ba quả táo trên bàn), và có thể dùng để sắp xếp thứ bậc (đây là thànhphố lớn thứ 3 trong cả nước).Các tính chất của số tự nhiên liên hệ đến tính chia hết, chẳng hạn như sự phân bố của cácsố nguyên tố, được nghiên cứu trong ngành lý thuyết số. Các vấn đề liên quan đến sựđếm, chẳng hạn lý thuyết Ramsey, được nghiên cứu trong toán tổ hợp.Các số tự nhiên dùng để đếm (một quả táo, hai quả táo, ba quả táo....).Lịch sử số tự nhiên và vai trò của số 0Người ta cho rằng số tự nhiên bắt nguồn từ các từ dùng để đếm sự vật, và bắt đầu bằng sốmột.Một bước tiến quan trọng đầu tiên là con người bắt đầu biết trừu tượng hóa việc biểu diễncác số bằng các chữ số. Điều này đã cho phép con người phát triển các hệ thống nhằm ghilại các số lớn. Ví dụ, người Babylon phát triển một hệ thống giá trị theo vị trí rất hữudụng mà chủ yếu dựa trên biểu diễn số ban đầu cho 1 và 10. Người Ai Cập cổ đại có mộthệ thống chữ số với các chữ tượng hình để diễn tả 1, 10, và tất cả các lũy thừa của 10 chođến một triệu. Một mẫu đá khắc thu được từ Karnak, xác định niên đại khoảng 1500TCN, và hiện nay đang được lưu trữ tại viện Bảo tàng Louvre ở Paris, thể hiện số 276như là 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị; và cũng thể hiện tương tự với số 4.622.Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triểný tưởng thể hiện số không như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng700 TCN, những người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theovị trí nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn,người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụngđể làm chữ số cuối cùng của một số[2] (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 nhưnhau - người Babylon dùng hệ cơ số 60 - để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèmthêm một chú thích bằng lời ở dưới[3]). Các nền văn minh Olmec và Maya đã dùng sốkhông như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 trước Công Nguyên (dường nhưđược phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến rangoài vùng Trung Mỹ. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từnhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Mặc dầu số không đã được dùng nhưmột con số bởi tất cả các nhà tính toán thời Trung Cổ (dùng để tính ngày Phục Sinh) màkhởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ sốLa Mã nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từLatinh là nullae, có nghĩa là không có gì để chỉ số không.Người ta thường xem các nhà triết học Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những ngườiđầu tiên đặt vấn đề nghiên cứu một cách hệ thống về các con số như là một thực thể trừutượng. Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số nơi như Ấn Độ, Trung Quốc và Trung Mỹcũng có những nghiên cứu độc lập tương tự.Đến thế kỷ 19, một định nghĩa mang tính lý thuyết tập hợp của số tự nhiên đã xuất hiệnvà phát triển. Với kiểu định nghĩa như vậy, việc gộp cả số không (ứng với tập rỗng) vàotrong số tự nhiên đã trở nên thuận tiện hơn. Ưu điểm này được các nhà lý thuyết tập hợp,nhà luận lý học và nhà khoa học máy tính sử dụng về sau. Các nhà toán học khác, chủyếu là các nhà lý thuyết số, lại thích dùng định nghĩa cổ điển hơn và không gộp số khôngvào trong số tự nhiên.Giáo sư toán học của Đại học Quốc gia Singapore Lam Lay Yong thì cho rằng ngườiTrung Quốc biết đến sử dụng con số để đếm từ khoảng năm 475 TCN thông qua pháthiện việc sử dụng các bó que để làm phép tính thời kỳ này[4].Ký hiệuCác nhà toán học dùng ký hiệu N hay cho tập hợp tất cả các số tự nhiên. Theo địnhnghĩa, tập hợp này vô hạn và đếm được.Để không bị nhầm lẫn về việc tập hợp số tự nhiên có số không hay không, đôi khi ngườita dùng thêm chỉ số dưới 0 để ám chỉ là có chứa số không, và chỉ số trên * để ám chỉkhông chứa số không N0 = { 0, 1, 2, ... } ; N* = { 1, 2, ... }.(Đôi khi một số tác giả dùng chỉ số dưới hoặc chỉ số trên + để ám chỉ khái niệmdương của số tự nhiên, tức là N+ hay N+ = { 1, 2, ... }. Thế nhưng, cần thận trọng với kýhiệu kiểu này, vì trong một số trường hợp khác, ít nhất là đối với trường phái toán châuÂu, ký hiệu này lại ám chỉ cho khái niệm không âm, lấy ví dụ: R+ = [0,∞) hay Z+ = { 0,1, 2,... }. Trong khi đó, ký hiệu * là chuẩn mực dùng cho khái niệm k ...