Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng

Tài liệu "Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng" trình bày lý thuyết những kiến thức cần nhớ và các dạng bài toán thường gặp, kèm theo các bài tập vận dụng có hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán về mặt cầu và đường thẳng CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU VÀ ĐƯỜNG THẲNGA. LÝ THUYẾT1. Kiến thức cần nhớ:Cho mặt cầu tâm , bán kính và đường thẳng (đi qua và có VTCP ). Khi đó:+) .+) .+) .ở đó và2. Một số dạng toán thường gặp:Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.Phương pháp:Cách 1: Sử dụng lý thuyết vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.- Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng và so sánh với .- Bước 2: Kết luận dựa vào các vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu.Cách 2: Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu.- Nếu phương trình vô nghiệm thì đường thẳng không có điểm chung với mặt cầu.- Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước.Phương pháp:- Bước 1: Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát.- Bước 2: Xét phương trình giao điểm của và , điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trìnhgiao điểm có nghiệm duy nhất.Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu.Phương pháp chung:Xác định điểm đi qua và VTPT của mặt phẳng, từ đó viết phương trình.B. BÀI TẬP ÁP DỤNGCâu 1 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúcvới (S) là:A. B. C. D.Phương pháp:(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và Ox có nghiệm kép.Cách giải:Tọa độ giao điểm của (S) và Ox là nghiệm của hệ (*)(S) tiếp xúc với Ox khi và chỉ khi (*) có nghiệm kép có nghiệm képChọn DChú ý khi giải:Các em cũng có thể tính khoảng cách từ tâm của đến và cho bằng .Câu 2 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng d có phương trình . Tínhđường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.A. B. C. D.Phương pháp:(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và d có nghiệm kép.Cách giải:Phương trình mặt cầu (S) có dạngPhương trình tham số của d là:Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ (*)(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (*) có nghiệm képcó nghiệm képcó nghiệm képSuy ra đường kính của mặt cầu (S) làChọn BChú ý khi giải:- Có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính bán kính mặt cầu:- Từ đó suy ra đường kínhCâu 3 (TH): Trong không gian , cho điểm và đường thẳng có phương trình: . Mặt cầu có tâm và tiếp xúc vớiđường thẳng có bán kính làA. . B. . C. . D. .Phương pháp :Ta tìm bán kính của mặt cầu bằng cách tìm khoảng cách từ điểm A đến đường thẳngCách giải :Phương trình mặt phẳng đi qua và vuông góc với là :.Gọi là hình chiếu của lên . Khi đó :.Chọn A.Câu 4 (NB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm và tiếp xúc với đườngthẳng là:A. B.C. D.Phương pháp:(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi hệ phương trình tọa độ giao điểm của (S) và d có nghiệm kép.Cách giải:Phương trình mặt cầu (S) có dạngPhương trình tham số của d là:Tọa độ giao điểm của (S) và d là nghiệm của hệ (*)(S) tiếp xúc với d khi và chỉ khi (*) có nghiệm képcó nghiệm képcó nghiệm képChọn ACâu 5 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình . Trong bốn phươngtrình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với là:A. B.C. D.Phương pháp:Lấy . Giả sử mặt cầu (S) và đường thẳng có điểm chung .và có hai điểm chung phân biệt nếu và chỉ nếu phương trình ẩn có hai nghiệm phân biệt.Cách làm: .A. Thay vào ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. LoạiB. Thay vào ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. LoạiC. Thay vào ta có . Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãnD. Thay vào ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. LoạiChọn CCâu 6 (TH): Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:A. B.C. D.Phương pháp:Lấy . Giả sử mặt cầu (S) và trụccó điểm chung .Khi đó phương trình ẩn phải có nghiệm.Cách làm: .A. Thay vào ta có . Phương trình vô nghiệm. LoạiB. Thay vào ta có . Phương trình vô nghiệm. LoạiC. Thay vào ta có . Phương trình vô nghiệm. LoạiD. Thay vào ta có . Phương trình có nghiệm kép. Thỏa mãnChọn DCâu 7 (VD): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.A. B. Trục Ox C. Trục Oy D. Trục OzPhương pháp: Chỉ ra tâm I và bán kính của mặt cầu (S) Tìm hình chiếu của I trên các trục tọa độ, từ đó tính khoảng cách từ I đến các trục tọa độ. Từ đó xác định được tính đúng sai của các đáp án B,C,D. Kết luận.Cách làm: (S) có tâm và Gọi M là hình chiếu của I lên trục Ox. Suy ra loại B Gọi N là hình chiếu của I lên trục Oy. Suy ra loại C Gọi P là hình chiếu của I lên trục Oz. Suy ra loại DChọn ACâu 8 (TH): Xét đường thẳng d có phương trình và mặt cầu (S) cóphương trình . Nhận xét nào sau đây đúng.A. d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B vàB. d không có điểm chung với (S)C. d tiếp xúc với (S)D. d cắt (S) tại hai điểm phân biệt A, B và AB đạt GTLN.Phương pháp: Xét số giao điểm của d và (S) bằng cách tìm số nghiệm của hệ phương trìnhCách làm:Giải hệSuy ra d cắt (S) tại hai điểm phân biệt.Mặt khác (S) có tâm nên d qua tâm của mặt cầu. Do đó AB đạt GTLNChọn DCâu 9(TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và đường thẳng . (d) cắt (S) tại hai điểm phânbiệt A và B. Khi đó AB bằng:A. ...