Chương 4: Ánh xạ tuyến tính

Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Bài gi ng môn h c Đ i s A1 Chương 4: ÁNH X TUY N TÍNH Lê Văn Luy n lvluyen@yahoo.com http://www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đ i h c Khoa H c T Nhiên Tp. H Chí MinhLê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 1 / 31N i dungChương 4. ÁNH X TUY N TÍNH 1. Đ nh nghĩa 2. Nhân và nh c a ánh x tuy n tính 3. Ma tr n bi u di n ánh x tuy n tínhLê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 2 / 31 1. Đ nh nghĩa1. Đ nh nghĩa 1.1 Ánh x 1.2 Ánh x tuy n tínhLê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 3 / 31 1. Đ nh nghĩa1.1 Ánh xĐ nh nghĩa. Cho X và Y là hai t p h p khác r ng. Ánh x gi a hait p X và Y là m t qui t c sao cho m i x thu c X t n t i duy nh tm t y thu c Y đ y = f (x).Ta vi t f : X −→ Y x −→ y = f (x)Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x).Ví d . • f : R → R xác đ nh b i f (x) = x2 + 2x − 1 là ánh x . • g : R3 → R2 xác đ nh b i g (x, y, z ) = (2x + y, x − 3y + z ) là ánh x. m • h : Q → Z xác đ nh b i h( ) = m không là ánh x . nLê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 4 / 31 1. Đ nh nghĩaĐ nh nghĩa. Hai ánh x f và g t X vào Y đư c g i là b ng nhaun u ∀x ∈ X, f (x) = g (x).Ví d . Xét ánh x f (x) = (x − 1)(x + 1) và g (x) = x2 − 1 t R → R.Ta có f = g.Đ nh nghĩa. Cho hai ánh x f : X → Y và g : Y → Z trong đóY ⊂ Y . Ánh x tích h c a f và g là ánh x t X vào Z xác đ nh b i: h : X −→ Z x −→ h(x) = g (f (x))Ta vi t: h = go f.Ví d . Cho f, g : R → R xác đ nh b i f (x) = 2x + 1 và g (x) = x2 + 2.Khi đó fo g (x) = f (g (x)) = f (x2 + 2) = 2(x2 + 2) + 1 = 2x2 + 5. go f (x) = g (f (x) = g (2x + 1) = (2x + 1)2 + 2 = 4x2 + 4x + 3.Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 5 / 31 1. Đ nh nghĩa nh và nh ngư c c a ánh xĐ nh nghĩa. Cho f : X → Y là ánh x , A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A) = {f (x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f (x)} đư c g i là nh c a A. • f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B } đư c g i là nh ngư c c a B. • f (X ) đư c g i là nh c a ánh x f , ký hi u Imf .Ví d . Cho f : R → R đư c xác đ nh f (x) = x2 + 1. Khi đó: f ([−2, −1]) = [2, 5] f ([1, 3]) = [2, 10] f ([−1, 3]) = [1, 10] f ((1, 5)) = (2, 26) −1 f −1 (2) = {−1, 1} (1) = {0} f f −1 (−5) = ∅ f −1 ([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2]Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 6 / 31 1. Đ nh nghĩaPhân lo i ánh xa) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là m t đơn ánh n u hai ph n t khácnhau b t kỳ c a X đ u có nh khác nhau. ∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ).Nghĩa là:Ví d . • f : N → R đư c xác đ nh f (x) = x2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R đư c xác đ nh g (x) = x2 + 1 (không đơn ánh)b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là m t toàn ánh n u f (X ) = Y. ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y.Nghĩa là:Ví d . • f : R → R đư c xác đ nh f (x) = x3 + 1 (là toàn ánh) • g : R → R đư c xác đ nh g (x) = x2 + 1 (không toàn ánh)Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 7 / 31 1. Đ nh nghĩac) Song ánh. Ta nói f : X → Y là m t song ánh n u f là đơn ánhvà toàn ánh.Ví d . • f : R → R đư c xác đ nh f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R đư c xác đ nh g (x) = x2 + 1 (không song ánh)Ánh x ngư cXét f : X → Y là m t song ánh. Khi đó, v i m i y ∈ Y , t n t i duynh t m t ph n t x ∈ X th a f (x) = y. Do đó tương ng y −→ x làm t ánh x t Y vào X . Ta g i đây là ánh x ngư c c a f và ký hi uf ˘1 . Như v y: f −1 : Y −→ X y −→ f −1 (y ) = x sao cho f (x) = y y−1Ví d . Cho f : R → R v i f (x) = 2x + 1. Khi đó f −1 (y ) = . 2Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 8 / 31 1. Đ nh nghĩa1. 2. Ánh x tuy n tínhĐ nh nghĩa. Cho V và W là hai không gian vectơ trên trư ng R. Tanói f : V −→ W là m t ánh x tuy n tính n u nó th a hai đi u ki ndư i đây: i) f (u + v ) = f (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V , ii) f (αu) = αf (u), ∀α ∈ R, ∀u ∈ V.Nh n xét. Đi u ki n i) và ii) trong đ nh nghĩa có th đư c thay thb ng m t đi u ki n : f (αu + v ) = αf (u) + f (v ), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V.Ký hi u. • L(V, W) là t p h p các ánh x tuy n tính t V → W . • N u f ∈ L(V, V ) thì f đư c g i là m t toán t tuy n tính trênV. Vi t t t f ∈ L(V ).Lê Văn Luy n (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh x tuy n tính 25/05/2010 9 / 31 1. Đ nh nghĩaNh n xét. N u f ∈ L(V, W ) thì • f (0) = 0; • f (−u) = −f (u), ∀u ∈ V.Ví d . Cho ánh x f : R3 −→ R2 xác đ nh b i f (x, y, z ) = (x + 2y − 3z, 2x + z ).Ch ng t f là ánh x tuy n tính.Gi i. ∀u = (x1 , y1 , z1 ), v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 . Ta có f (u + v ) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2 , 2x1 + 2x2 + z1 + z2 ) = (x1 + 2y1 − ...