Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2): Phần 2

Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2) có kết cấu gồm 18 chương và phụ lục. Tiếp nối phần 1, phần 2 gồm nội dung chương 15 trở đi, trình bày về bài toán Điriclê, bài toán nôi man, một vài bài toán xác định dương khác, các bài toán hỗn hợp của phương trình truyền nhiệt và truyền sóng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng (Tập 2): Phần 2 CHƯƠNG XV BÀI TOÁN PIRICLÊ T ừ c h ư ơ n g n à y t r ở đi ta sẽ ứ n g dụng n h ữ n g k ế t q u ảcủa lý t h u y ế t p h ư ơ n g t r ì n h t o á n t ử x á c đ ị n h d ư ơ n g đ ềg i ả i m ộ t sổ b à i t o á n biên của p h ư ơ n g t r ì n h đ ạ o h à m § 1. B i ê u thức vi phân l i ê n hợp hình thức T r o n g k h ô n g gian 0clit E n ta xét biêu thức v i phảncấp hai *— OXj ÒXỵ 1—1 dxy j,k=l k=ltrong đ ỏ c á c h ệ số Aịí, Áy, c là các h à m thọc đ ủ trancủa b i ế n X. Song song v ớ i (1.1) ta xét b i ế u thức v i p h â n Vu - Ỳ X ^ - - y ^ ^ + C v (1.2) j, k=l k=l B i ê u t h ứ c L* V đ ư ợ c g ọ i là biêu thức vi phán liên hợphỉnh thức của Lu. D ễ thấy được rằng 2 tfjAfrV) _ A dv dAịỵ dv • i k d X j d x k dXịdXỵ dxỵ dXị dÃỊ* do , ạiẠ i k v dXj dxỵ d X ị õ X í -288và b i ê u t h ứ c liên h ợ p của n ỏ là a.i-j3.r k 3.Tj3.T k Cũn^ t ư ơ n g t ự n h ư vậy đ ố i v ớ i các hạng t h ứ c k h á ctrong (1.2) và lu dễ thấy (íưọ-c r ằ n g biêu thức l i ê n h ợ pcủa L*v c h í n h l ạ i bằng Lu : (L*)* = /.N ế u L là một b i ề n t h ú c sao cho L* — L thì L đượcg ọ i là biền thức vi phàn tự Mèn hợp. Chẳng hạnbiêu thức n LlU = y - Ẽ - Ỉ A K - l p ị + Cu (1.3) *—> dXị OXỵ Ị j.k=1là m ộ t b i ê u thức v i p h â n tự liên hợp. Đ i ề u n à y có t h ê thấy ngay đ ư ợ c bằng c á c h k h a i I r i ê ncụ thê p h n d ư ó i dấu t ô n g v à xét biêu t h ứ c Jièn 4iợpcủa t ừ n g h ạ n g t h ứ c . Cũng v ì lý do đ ó , sau n à y ta t h ư ờ n g b i ế n đ ô i b i ê uthibc t ô n g q u á t (1.1) v à v i ế t n ỏ đ ư ờ i d ạ n g :Lu = ỳ -°- ịA ìk ỳ B k JH_ + Ca (1.4) j,k=l k=ltrong đó n Bỵ = Aỵ - £ 239- B i ê u thức l i ê n hự]) h ì n h t h ứ c của (1.4) sẽ là D li a a / vv ••-ĩ. i ^ ( ^ ) - x : ^ - j,k=l dv k=l (B+ v)& ( k - 5 ) T ừ đ ó d ễ t h ấ y r ằ n g (1.4) l ự l i ê n hợp k h i và chỉ k h i #v = 0, /c = 1, 2, /ì T r o n g c h ư ơ n g n à y ta sẽ đ ề cập t ớ i bài t o á n Biriclô củap h ư ơ n g t r ì n h l o ạ i elip m à vố t r á i có d ạ n g (1.1) T r ư ớ chết ta xét t r ư ờ n g hợp t o á n t ử L cỏ dạng t ự liên h p (1.3)sau đ ó xét d ạ n g t ô n g q u á t (1.4). T r ư ớ c hết, ta c h ứ n g m i n h m ộ t hất đ ẳ n g thức : § 2. Bát đẳng t h ứ c Fridrich Đ ị n h l ý 1. Giã sử Q là miền giới nội irong khàng gianơcỉit En với biên s trơn từng mãnh. Đỗi ười mọi hùm ...