Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị bao gồm những nội dung về khái niệm ánh xạ đa trị, các định lý về điểm bất động của các lớp ánh xạ có tính chất co, có giá trị lồi và không lồi; khái niệm về không gian Banach có thứ tự, các định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng có tính chất co, compact và T – đơn điệu trong không gian Banach có thứ tự.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động của một số lớp ánh xạ đa trị THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH _______________________________________________________ Nguyễn Viết ThăngĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chuyên nghành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN ĐÌNH THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và TS. Trần ĐìnhThanh đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy phản biện đã nhận xét và đóng cho tôi những ýkiến quý báu. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã nhiệt tình giảng dạy trong thời gian tôi họctập tại trường Đại học Sư phạm Tp HCM và đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận vănnày. Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tậpvà thực hiện luận văn này. Tp. HCM, tháng 10 năm 2010 Học viên Nguyễn Viết Thăng MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Nhiều hiện tượng trong tự nhiên và xã hội dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xâydựng xấp xỉ cho các phương trình phi tuyến. Phương pháp điểm bất động là một trong các phươngpháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm củacác lớp phương trình phi tuyến khác nhau. Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, đượcphát triển và hoàn thiện cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngày càng nhiều lớp phương trình. Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học, các ánhxạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950. Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tảnhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội, kinh tế… Từ đó nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phươngpháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động. Cho đến nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu được nhiều kết quả có giátrị . Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu vàhứa hẹn được tới những kết quả thú vị về lý thuyết cũng như ứng dụng. Mục tiêu của luận văn là giới thiệu những kết quả ban đầu về lý thuyết điểm bất động của cácánh xạ đa trị. Cụ thể luận văn trình bày các định lý điểm bất động và các vấn đề liên quan cho cáclớp ánh xạ dạng co, ánh xạ đa trị có giá trị lồi và không lồi, ánh xạ đa trị tăng và các ánh xạ đưa vềánh xạ tăng trong không gian có thứ tự. Các lớp ánh xạ này được nghiên cứu bằng các phương phápkhác nhau như phương pháp sử dụng lát cắt đơn điệu, phương pháp bậc tôpô, phương pháp sử dụngnguyên lý Entropy…2. Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn có 2 chương. Chương 1 gồm các khái niệm về ánh xạ đa trị, các định lý về điểm bất động của các lớp ánhxạ có tính chất co, có giá trị lồi và không lồi. Phần 1.1 nhắc lại các khái niệm về ánh xạ đa trị; một số thuật ngữ và ký hiệu liên quan.Các kếtquả này được trích từ tài liệu tham khảo. Phần 1.2 trình bày định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co , tính chất của tậpđiểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co.Đây là mở rộng nguyên lý điểm bất động củaBanach, phần này chúng tôi tham khảo [3] Phần 1.3 trình bày các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có giá trị lồi, từ Định lý địnhlý điểm bất động Bruower  Bất đẳng thức KyFan  Định lý 1.3.6 về điểm cân bằng  Định lýđiểm bất động Kakutani. Phần này chúng tôi tham khảo trong [3], [6], [7]. Phần 1.4 trình bày các định lý liên quan đến điểm bất động của ánh xạ có giá trị khônglồi.Phần này chúng tôi tham khảo trong [3]. Chương 2 gồm các khái niệm về không gian Banach có thứ tự, các định lý điểm bất động củaánh xạ đa trị tăng có tính chất co, compact và T – đơn điệu trong không gian Banach có thứ tự. Phầnnày chúng tôi tham khảo [2], [4], [5]. Phần 2.1, 2.2 trình bày các khái niệm và kết quả của không gian Banach có thứ tự và ánh xạ đatrị đơn điệu. Phần 2.3 trình bày các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng là mở rộng định lýTarskii. Phần 2.4 trình bày các định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị tăng có tính chất co. Phần 2.5 trình bày các toán tử có liên quan tới tính chất compact. Phần 2.6 trình bày về điểm bất động của ánh xạ T – đơn điệu đa trị.3. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp lát cắt đơn điệu, ứng dụng các định lý cơ bản về tập có thứ tự. 2. Phương pháp bậc tôpô. 3. phương pháp sử dụng nguyên lý Entropy… Chương 1 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ1.1. CÁC KHÁI NIỆM – KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG1.1.1. Ánh xạ đa trị Cho X , Y là hai tập bất kỳ, ta ký hiệu 2Y là họ tất cả các tập con của Y . Một ánh xạF : X  2Y gọi là một ánh xạ đa trị từ X vào Y . Điểm x * được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị F : X  2 X nếu x*  F ( x*)1.1.2. Một số thuật ngữ và ký hiệu liên quan  Đồ thị của F : X  2Y là tập con của X  Y ký hiệu gphF , định nghĩa bởi gphF  ( x, y)  X  Y : y  F ( x)  Domain của F ( miền hữu hạn ) được ký hiệu và định nghĩa: domF   x  X : F ( x)    Miền ảnh ký hiệu rgeF : rgeF   y  Y : x  X , y  F ( x)  Ánh xạ ngược: F 1 : Y  2 X của ánh xạ F : X  2Y được định nghĩa bởi công thức F 1 ( y )   x  X : y  F ( x) , ( y  Y ) x  F 1 ( y )  y  F ( x)  ( x, y )  gphF  Đối với mỗi tập M  Y ta phân ...