Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số cân bằng fibonacci và số cân bằng lucas

Luận văn trình bày về khái niệm và một số tính chất của các số Lucas-cân bằng. Sau đó, chúng tôi trình bày về mối quan hệ giữa các số cân bằng với các số vô tỷ λ1, λ2. Cuối cùng, chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số cân bằng fibonacci và số cân bằng lucas ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THU GIANGSỐ CÂN BẰNG FIBONACCI VÀ SỐ CÂN BẰNG LUCAS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THU GIANGSỐ CÂN BẰNG FIBONACCI VÀ SỐ CÂN BẰNG LUCASChuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấpMã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2016Mục lụcDanh sách kí hiệu iiMở đầu 1Chương 1 . Số cân bằng và một số dãy số liên quan 4 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất . . . . . . . . . . 4 1.2 Số cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Số Lucas-cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Một số tính chất của các số λ1 và λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Một số mối quan hệ giữa số cân bằng và số Lucas-cân bằng . . . . . . 14Chương 2 . Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas 19 2.1 Số Fibonacci và số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Số cân bằng Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Các số cân bằng Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Kết luận 35Tài liệu tham khảo 36 iDanh sách kí hiệu Bn số cân bằng thứ n Cn số Lucas-cân bằng thứ n Fn số Fibonacci thứ n Ln số Lucas thứ n √ λ1 số vô tỷ 3 + 8 √ λ2 số vô tỷ 3 − 8 iiMở đầu Một số nguyên dương n được gọi là một số cân bằng với hệ số cân bằng r nếu nólà nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r).Khái niệm về số cân bằng được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi Behera và Panda[4]. Sau đó rất nhiều tính chất đẹp của các số cân bằng được tìm ra bởi Panda [9], Ray[10, 11],... Một số tính chất này đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong [1]. Kí hiệu Bn , n = 0, 1, . . . , là số cân bằng thứ n, với quy ước B0 = 1. Khi đó cácsố Bn thỏa mãn phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất Bn+1 = 6Bn − Bn−1 .Sử dụng lý thuyết của phương trình sai phân tuyến tính ta có được công thức Binetcho các số cân bằng λn+1 1 − λn+1 2 Bn = , n = 0, 1, . . . , λ1 − λ2 √ √trong đó λ1 = 3 + 8 và λ2 = 3 − 8. Trong chương 5 của tài liệu [10], Ray đãchứng minh một số quan hệ đặc biệt giữa các số cân bằng và các số vô tỷ λ1 và λ2 .Mục tiêu đầu tiên của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray. Một đặc trưng quan trọng của số cân bằng Bn là 8Bn2 + 1 là số chính phương. SốCn = 8Bn2 + 1 được gọi là số Lucas-cân bằng thứ n. Các số Lucas-cân bằng có liên pquan chặt chẽ với các số cân bằng. Cụ thể là đã có nhiều đẳng thức được tìm ra liênquan đến các số này. Đặc biệt, gần đây, Ray [11] đã chứng minh được một số đẳngthức thú vị thể hiện mối quan hệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng. Mụcđích tiếp theo của luận văn này là trình bày lại các kết quả này của Ray. 1 Trong số các tính chất của các số cân bằng, có khá nhiều tính chất có tính tươngđồng với tính chất của các số Fibinacci và các số Lucas. Một vấn đề tự nhiên đượcđặt ra: liệu có số nguyên nào vừa là số cân bằng vừa là số Fibonacci hay không? hoặccó tồn tại số cân bằng nào mà đồng thời là số Lucas hay không? Các số như vậy lầnlượt được gọi là các số cân bằng Fibonacci và các số cân bằng Lucas. Các vấn đề nàyđã được Liptai trả lời hoàn chỉnh trong [7] và [8]. Cụ thể, trong [7], Liptai đã chỉ rarằng chỉ có duy nhất một số cân bằng Fibonacci, đó là số 1. Bằng phương pháp chứngminh tương tự, Liptai [8] cũng chứng minh được rằng không tồn tại bất cứ số cân bằngLucas nào. Mục đích cuối cùng của luận văn này là trình bày lại các câu trả lời nàycủa Liptai.Cấu trúc của luận văn Luận văn được trình bày thành 2 chương: • Chương 1: Số cân bằng và một số dãy số liên quan. Phần đầu tiên của chươngnày chúng tôi nhắc lại về phương trình sai phân tuyến tính cấp hai thuần nhất, nhắclại khái niệm về số cân bằng. Tiếp theo đó, chúng tôi trình bày về khái niệm và mộtsố tính chất của các số Lucas-cân bằng. Sau đó, chúng tôi trình bày về mối quan hệgiữa các số cân bằng với các số vô tỷ λ1 , λ2 . Cuối cùng, chúng tôi trình bày mối quanhệ giữa các số Lucas-cân bằng và các số cân bằng. • Chương 2: Số cân bằng Fibonacci và số cân bằng Lucas. Mở đầu chương này,chúng tôi trình bày sơ lược khái niệm của các số Fibonacci và các số Lucas. Tiếptheo đó chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự tồn tại duy nhất số cân bằngFibonacci. Cuối cùng, chúng tôi trình bày chứng minh của Liptai về sự không tồn tạisố cân bằng Lucas. Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giúp đỡ rất lớn từ thầy giáo-TSNgô Văn Định. Tôi xin gửi tới thầy lời tri ân sâu sắc nhất. Trong suốt quá trình làmluận văn, thầy đã dành nhiều thời gian, công sức để chỉ bảo và tận tình hướng dẫn đểtôi có thể hoàn thành đề tài. Một lần nữa xin được gửi tới thầy lời cảm ...