Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nguyên hàm lượng giác thật hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi ĐH môn Toán: Nguyên hàm lượng giác (Phần 4) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cotCách giải: Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức 1  2 1 cos 2 x = 1 + tan x  tan x = 1 − cos 2 x 2   →  1 = 1 + cot 2 x cot 2 x = 1 − 1  sin 2 x  sin 2 x Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx: A sin 2 x + B sin x.cos x + C.cos 2 x thì ta chia cả tử vàmẫu cho cos2x hoặc sin2x.Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các nguyên hàm sau: c) I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx dxa) I1 = ∫ tan 2 x dx b) I 2 = ∫ tan 3 x dx d) I 4 = ∫ cos 4 x Hướng dẫn giải:  1 a) I1 = ∫ tan 2 x dx = ∫  1 − 2  dx = x − tan x + C.  cos x b) Xét I 2 = ∫ tan 3 x dxCách 1:  1  dx tan 2 x sin x dxI 2 = ∫ tan 3 x dx = ∫ tan 2 x.tan x dx = ∫  2 − 1  tan x dx = ∫ tan x. 2 − ∫ tan xdx = −∫ =  cos x  cos x 2 cos x tan 2 x d (cosx) tan 2 x= +∫ = + ln cos x + C. 2 cos x 2Cách 2:I 2 = ∫ tan 3 x dx = ∫ sin 3 x sin 2 x.sin xdx (1 − cos2 x ).d (cos x) = − d (cos x) + d (cos x) = 1 + ln cos x + C. cos3 x dx = ∫ cos3 x = − ∫ cos3 x ∫ cos3 x ∫ cos x 2cos2 xBình luận:Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biếtcách nào đúng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kếtquả. tan 2 x 1 1  1 1Thật vậy, + ln cos x + C =  2 − 1  + ln cos x + C = 2 + ln cos x + C − . 2 2  cos x  2 cos x 2  1 ′Do  C −  = ( C )′ = 0 nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả.  2  1 c) I 3 = ∫ ( tan 3 x + tan x ) dx = ∫ tan 3 x dx + ∫ tan x dx = ∫ tan 2 x.tan x dx + ∫ tan x dx = ∫  2 − 1 .tan x dx + ∫ tan x dx =  cos x  dx tan 2 x= ∫ tan x. cos 2 x ∫ ∫ − tan x dx + tan x dx = + C. 2Bình luận:Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này. Với các nguyên hàm có chứa tannx thì thông  1  1thường ta tách theo sơ đồ: tan n x = tan n − 2 x.tan 2 x = tan n − 2 x.  2 − 1 = tan n − 2 x. 2 − tan n − 2 x... với n > 2.  cos x  cos xQuá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan2x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính.Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau: Tham gia các ...