Luyện thi ĐH môn Toán: Nhị thức Niu tơn (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu "Luyện thi ĐH môn Toán: Nhị thức Niu tơn (Phần 5) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về nhị thức Niu tơn thật hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi ĐH môn Toán: Nhị thức Niu tơn (Phần 5) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P5 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN [Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức - Tổ hợp] 2 22 2n n 121Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cn = 2 3 n +1 n +1 Lời giải:Xét khai triển (1 + x) = Cn + Cn x + Cn x + ... + Cn x n 0 1 2 2 n n 3n +1 − 1 22 23 2n +1 nLấy tích phân 2 vế cận từ 0 đến 2, ta được: = 2Cn0 + Cn1 + Cn3 + ... + Cn n +1 2 3 n +1 2 22 2n n 3n +1 − 1 121 3n +1 − 1⇔ Cn0 + Cn1 + Cn2 + ... + Cn = ⇔ = ⇔ 3n +1 = 243 ⇔ n = 4 2 3 n +1 2(n + 1) n + 1 2(n + 1)Vậy n = 4.Ví dụ 2: [ĐVH]. Chứng minh: Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 + ... + (n + 1)Cnn = (n + 2)2n −1 , với n nguyên dương. Lời giải:Ta có : x(1 + x) = xC + xC x + xC x + xC x + ... + Cnn x n (1) n 0 n 1 n 2 n 2 3 3 nLấy đạo hàm hai vế của (1) ta được: (1 + x) n + nx(1 + x) n −1 = Cn0 + 2Cn1 + 3Cn2 x 2 + ... + (n + 1)Cnn x n (2)Thay x = 1 vào (2) ta được điểu cần chứng minh. 1 0 1 1 1 2 1 1Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính tổng S = C2011 − C2011 + C2011 − ... + 2010 C2011 − 2011 C2011 3 4 5 2013 2014 Lời giải:Ta có (1 − x) 2011 = C2011 − C2011 x + C2011 x − ... + C2011 x − C2011 0 1 2 2 2010 2010 2011 2011 xSuy ra x 2 (1 − x) 2011 = C2011 0 x 2 − C2011 1 x3 + C2011 2 x 4 − ... + C2011 x − C2011 2010 2012 2011 2013 x 1 1 ∫x (1 − x) ∫ (C x − C2011 x3 + C2011 x 4 − ... + C2011 x − C2011 ) 2 2011 0 2 1 2 2010 2012 2011 2013 dx = 2011 x dx 0 0 1 1 0 3 1 1 4 1 2 5 1 1 2011 2014 =  C2011 x − C2011 x + C2011 x − ... + C2011 x − 2010 2013 C2011 x  3 4 5 2013 2014 0 1 0 1 1 1 2 1 1= C2011 − C2011 + C2011 − ... + 2010 C2011 − 2011 C2011 3 4 5 2013 2014 1 ∫Vậy S = x 2 (1 − x) 2011 dx . 0Đặt t = 1 – x ⇒ dt = – dx . Với x = 0 thì t = 1; với x = 1 thì t = 0 0 1 1S = ∫ (1 − t ) 2 t 2011 (− dt ) = ∫ (t 2 − 2t + 1)t 2011dt = ∫ (t 2013 − 2t 2012 + t ...