Phép Chia Hết

" Phép Chia Hết " sẽ giúp cho các em học sinh có thể tự học, tự ôn tập, luyện tập và tự kiểm tra đánh giá năng lực tiếp thu kiến thức, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức toán học, chúc các em học tốt
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép Chia Hết Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú Khánh Phép chia h t1.1 ð ng dư theo mô ñunBài toán 1. Ch ng minh r ng a ≡ b (mod m) khi và ch khi a – b chia h t m.Bài toán 2. N u a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m), thì a + c ≡ b + d (mod m).Bài toán 3. N u a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), thì a – c ≡ b – d (mod m).Bài toán 4. N u a ≡ b (mod m) и c ≡ d (mod m), thì ac ≡ bd (mod m).Bài toán 5. N u a ≡ b (mod m), n – s t nhiên, thì an ≡ bn (mod m).Bài toán 6. Ch ng minh r ng n² + 1 không chia h t cho 3 v i b t c m t s nguyên n nào.Bài toán 7. Hãy tìm s dư c a phép chia 6¹ºº cho 7.Bài toán 8. Ch ng minh r ng 3099 + 61¹ºº chia h t cho 31.Bài toán 9. Ch ng minh r ngа) 43¹º¹ + 23¹º¹ chia h t cho 66.б) an + bn chia h t cho a + b, n u n – s l .Bài toán 10. Ch ng minh r ng 1n + 2n + … + (n – 1)n chia h t cho n v i n là s ch n.Bài toán 11. Ch ng minh r ng t n t i vô h n các s t nhiên, không bi u di n thành t ng c a bas l p phương.Bài toán 12. Ch ng minh r ng m i s có d ng 103n + 1 không th bi u dư i d ng t ng c a hai st nhiên l p phương.Bài toán 13. Ch ng minh r ng trong 51 s nguyên tìm ñư c hai s , bình phương c a chúng chocùng m t s dư khi chia chúng cho 100.Bài toán 14. Ta g i s t nhiên n là thu n ti n, n u n² + 1 chia h t cho 1000001. Ch ng minhr ng gi a các s 1, 2, …, 1000000 có s ch n s thu n ti n.Bài toán 15. а) Có th bình phương m t s t nhiên có ch s t n cùng là 2?б) Có th ch dùng các ch s 2, 3, 7, 8 (có th dùng m t s l n cho m t ch s ), ñ t o ra m ts t nhiên chính phương?Bài toán 16. M t s nào có th c ng vào s (n² – 1)¹ººº • (n² + 1)¹ºº¹, ñ k t qu chia h t cho n?Bài toán 17. Hãy tìm s dư c a phép chia s 10¹º + 10¹ºº + 10¹ººº + … + 10¹ºººººººººº cho 7.Bài toán 18. T n t i bao nhiêu s t nhiên n, nh hơn 10000, mà v i chúng 2n – n² chia h t cho7?Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú KhánhBài toán 19. Ta kí hi u k là tích c a m t vài s nguyên t ñ u tiên (l n hơn m t). Ch ng minhr ng s а) k – 1; б) k + 1 không ph i là s chính phương.Bài toán 20. Có t n t i không m t s t nhiên n, sao cho n² + n + 1 chia h t cho 1955?Bài toán 21. Ch ng minh r ng 11n + 2 + 122n + 1 chia h t cho 133 v i s t nhiên b t kì n.Bài toán 22. Cho n – s t nhiên sao cho n + 1 chia h t cho 24. Ch ng minh r ng t ng c a t t cư c s t nhiên c a n chia h t cho 24.Bài toán 23. Dãy s a1, a2, a3, … nh ng s t nhiên sao cho an + 2 = an + 1an + 1 v i m i n.а) a1 = a2 = 1. Ch ng minh r ng không có m t s h ng nào không chia h t cho 4.б) Ch ng minh r ng an – 22 là h p s v i m i n > 10.1. 2. Ghi h s th p phân và nh ng d u hi u chia h tBài toán 24. Ch ng minh r ng s t nhiên b t kì l y ñ ng dư v i ch s cu i cùng c a nó theomô ñun а) 10; б) 2; в) 5.Bài toán 25. Ch ng minh r ng a1a2a3 ... an-1an = an-1an (mod 4).Bài toán 26. Hãy phát bi u và ch ng minh tiêu chu n chia h t c a m t s cho 2n và 5n.Bài toán 27. Ch s cu i cùng c a bình phương m t s t nhiên là 6. Ch ng minh r ng ch strư c ch s cu i cùng là m t s l .Bài toán 28. Ch s trư c ch s cu i cùng c a m t s t nhiên bình phương là s l . Ch ngminh r ng ch s cu i cùng c a nó là 6.Bài toán 29. Ch ng minh r ng lũy th a c a 2 không th có b n ch s cu i cùng có cùng m tch s gi ng nhau.Bài toán 30. Hãy tìm m t s có 100 ch s không có s không mà nó chia h t cho t ng các chs c a nó.Bài toán 31. Ch ng minh r ng s t nhiên b t kì ñ u ñ ng dư v i t ng các ch s c a nó theomô ñun а) 3; б) 9.Bài toán 32. Có th vi t m t s chính phương b ng cách dùng 10 l n các ch a s а) 2, 3, 6; б)1, 2, 3 ?Bài toán 33. Trong cơ s 10 c a s 2¹ºº tính t ng các ch s , k t qu tìm ñư c l i tính t ng cácch s c a nó và vân vân. Cu i cùng ta nh n ñư c m t s có m t ch s . Hãy tìm s này.Bài toán 34. Ch ng minh r ng n u vi t ngư c th t c a các ch s c a m t s t nhiên b t kì,thì hi u c a s ban ñ u và s v a t o ra s chia h t cho 9.Bài toán 35. Vi t thêm vào s 15 phía bên ph i và phía bên trái m t ch s sao cho s nh nñư c chia h t cho 15.Tác gi : Nguy n H u ði n http://www.toanthpt.net tư li u Phú KhánhBài toán 36. Có bao nhiêu ch s có b n ch s mà chúng chia h t cho 45, mà hai ch s gi anó là s 97?Bài toán 37. Tìm s t nhiên nh nh t mà nó chia h t cho 36, trong các vi t c a nó b t g p t tc mư i ch s .Bài toán 38. Ch ng minh r ng tích c a ch s cu i cungùng c a s 2n và t ng t t c các ch sc a s này tr s cu i cùng, chia h t cho 3.Bài toán 39. Có th có t ng các ch s c a m t s chính phương b ng 1970 không?Bài toán 40. T các s có ba ch s tính t ng các ch s c a nó. T s nh n ñư c chia h t chochính nó và hơn n a chia h t 100 l n. Ch ng minh r ng trong k t qu nh n ñư c b ng.Bài toán 41. Cho A là t ng c a các ch s s 44444444, còn B là t ng các ch s c a s A. Hãytìm t ng các ch s c a s B.Bài toán 42. Ch ng minh r nga1a2...a ...