Phương pháp hàm sinh xác định dãy số

Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (Công thức Taylor), chuyển các bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số. Đây là phương pháp mạnh để giải các bài toán về dãy số mà đôi khi ta hoàn toàn bó tay với các phương pháp khác. Bài viết đề cập đến một loại hàm sinh thường dùng: hàm sinh thường. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp hàm sinh xác định dãy số Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ Lương Thị Hằng THPT Chuyên Hưng Yên 1 Cơ sở lý thuyết Phương pháp hàm sinh là một phương pháp hiện đại, sử dụng kiến thức về chuỗi, chuỗi hàm (Công thức Taylor), chuyển các bài toán về dãy số thành những bài toán về hàm số. Đây là phương pháp mạnh để giải các bài toán về dãy số mà đôi khi ta hoàn toàn bó tay với các phương pháp khác. Ý tưởng của phương pháp hàm sinh đơn giản như sau: Giả sử ta cần tìm công thức tổng ∞ quát của dãy số { an } nào đó. Từ công thức truy hồi ta tìm được hàm sinh f ( x ) = ∑ an x n n =0 của dãy số. Và từ đó, hệ số ai của xi trong khai triển của f ( x ) thành chuỗi lũy thừa chính là số hạng thứ i của dãy { an }. Hay nói cách khác, ta tìm f ( x ) rồi lấy đạo hàm cấp n của nó tại 0 là tìm được an . Các loại hàm sinh gồm hàm sinh thường, hàm sinh mũ, hàm sinh Dirichlet. . . . Trong bài này ta chỉ đề cập đến một loại hàm sinh thường dùng: Hàm sinh thường. 1.1 Định nghĩa Cho dãy số a0 ; a1 ; a2 ; . . . an ; . . . . Chuỗi lũy thừa hình thức ∞ f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · = ∑ an x n (1.1) n =0 được gọi là hàm sinh thường của dãy { an }. Kí hiệu tương ứng giữa một dãy số và hàm sinh như sau: { an } ←→ f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . 1 Chẳng hạn như {1, 1, 1, . . . } ←→ 1 + x + x2 + · · · = . 1−x Khai triển Taylor ∞ f ( n ) (0) n f (x) = ∑ n! x (1.2) n =0 131 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017 và công thức khai triển Newton mở rộng ∞ x2 xn (1 + x ) =α ∑ Cαn xn = 1 + αx + α(α − 1) 2! + · · · + α(α − 1) . . . (α − n + 1) n! + . . . (1.3) n =0 là những cơ sở quan trọng để chúng ta tìm công thức tường minh cho hàm sinh của hàng loạt các dãy số. 1.2 Các phép toán ∞ ∞ Cho f ( x ) = ∑ an x n và g( x ) = ∑ bn x n là hàm sinh tương ứng của các dãy { an } và {bn }. n =0 n =0 Khi đó ta định nghĩa các phép toán như sau: a) Phép cộng ∞ ∞ ∞ f ( x ) ± g( x ) = ∑ an x n ± ∑ bn x n = ∑ ( a n ± bn ) x n (1.4) n =0 n =0 n =0 Ví dụ 1.  1  {1, 1, 1, . . . } ←→  1 1 2 1−x  ⇒ {2, 0, 2, 0, . . . } ←→ + = (1.5) 1  1−x 1+x 1 − x2 {1, −1, 1, −1, . . . } ←→   1+x ∞ ∞ b) Phép nhân với một số k f ( x ) = k ( ∑ an x n ) = ∑ (kan ) x n n =0 n =0 1 2 Ví dụ 2. {1, 0, 1, 0, . . . } ←→ 2 , nhân với 2 ta được {2, 0, 2, 0, . . . } ←→ 1−x 1 − x2 c) Tích ...