SKKN - Dạy học Gỉải tích lớp 12

Trong chương trình giải tích lớp 12, để vẽ đồ thị của hàm số chúng tatrước hết phải khảo sát sự biến thiên và các tính chất của nó rồi mới vẽ đồthị. Tuy nhiên khi có các dạng đồ thị của hàm số rồi nhưng học sinh chúngta không biết vận dụng chiều ngược lại để nghiên cứu các tính chất của nó.Cũng trong chương trình giải tích lớp 12, ta gặp rất nhiều bài toán liên quanđến khảo sát hàm số như về tính đơn điệu, tính cực trị của hàm số, để giảicác bài toán loại này...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SKKN - Dạy học Gỉải tích lớp 12 Mở đầu Trong chương trình giải tích lớp 12, để vẽ đồ thị của hàm số chúng tatrước hết phải khảo sát sự biến thiên và các tính chất của nó rồi mới vẽ đồthị. Tuy nhiên khi có các dạng đồ thị của hàm số rồi nhưng học sinh chúngta không biết vận dụng chiều ngược lại để nghiên cứu các tính chất của nó.Cũng trong chương trình giải tích lớp 12, ta gặp rất nhiều bài toán liên quanđến khảo sát hàm số như về tính đơn điệu, tính cực trị của hàm số, để giảicác bài toán loại này rõ ràng chúng ta phải sử dụng đến công cụ đạo hàm.Tuy nhiên có rất nhiều bài toán dạng đó chúng ta biết phương pháp để giảinhưng khi thực hiện tính toán rất phức tạp.Trong quá trình dạy học phần hàm số bậc hai trên bậc nhất tôi cũng rút rađược đôi điều kinh nghiệm về việc dùng đồ thị hàm số để giải ngắn gọnmột số bài toán liên quan đến tính đồng biến nghịch biến và cực trị của hàmsố loại này. Dù kinh nghiệm còn ít nhưng tôi cũng coi là đề tài sáng kiếnkinh nghiệm của mình với tên gọi Không dùng đạo hàm để giải các bàitoán liên quan đến khảo sát hàm số với đề tài tuy nhỏ nhưng tôi cũng đãtrình bày trước tổ chuyên môn và triển khai khi dạy học sinh lớp 12 củamình phụ trách, cũng đã ít nhiều đem lại hiệu quả. 1 Nội dung I. Giải bài toán tổng quát:Bài toán: Cho hàm số phân thức bậc hai trên bậc nhất (có chứa tham số) ax 2 + bx + c y = F ( x) = (ad ≠ 0) (1) dx + e Tìm điều kiện để: 1. Hàm số (1) đồng biến (hay nghịch biến) trên mỗi khoảng xác định củanó. 2. Hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu. 3. Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về hai phíakhác nhau của trục hoành. 4. Đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm về cùng mộtphía của trục hoành. E Sơ lược cách giải: Với bài toán quen biết này thì đường lối (phương pháp) giải rất rõ ràng Để giải quyết cả 4 ý trên chúng ta đều phải tính đạo hàm y = F ( x) −e −e Ở ý 1. điều kiện là: F(x) > 0 ∀x ≠ ( hay F(x) < 0 ∀x ≠ ) d d Ở ý 2. điều kiện là phương trình F(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt. Ở ý 3. điều kiện là phương trình F(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt vàyCĐ . yCT < 0 Ở ý 4. điều kiện là phương trình F(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt vàyCĐ . yCT > 0 2 E Nhận xét: Khi giải theo phương pháp truyền thống trên thì với hai ý1 và 2 không có khó khăn gì. Tuy nhiên với hai ý 3 và 4 thì nói chung gặp rấtnhiều khó khăn khi tính yCĐ . yCT (tính toán rất dài và cồng kềnh) thậm chíkhông kiên trì sẽ không đi đến kết quả. Liệu có phương pháp nào khác dễ hơn để giải bài toán trên ?Ở bài viết này qua kinh nghiệm của bản thân, tôi sẽ đưa ra phương phápgiải ngắn gọn hơn, không phải tính đạo hàm và sẽ không gặp khó khăn gì.Trước khi giải bài toán trên, ta nói qua về cơ sở khoa học của phương pháptôi sẽ giải. ax 2 + bx + c y = F ( x) = *) Xét hàm số (1) dx + e Với các điều kiện (ad ≠ 0) và f ( x0 ) ≠ 0 (với f ( x) = ax + bx + c ; 2 −ex0 = ) dTrong chương trình giải tích lớp 12 ta đã khảo sát hàm số (1) và đồ thị củahàm số (1) sẽ là 1 trong 4 dạng sau: (tùy theo các dữ kiện a, b, c, d, e) Đồ thị sẽ có dạng hình 1 khi a.d > 0 và y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Đồ thị sẽ có dạng hình 2 khi a.d < 0 và y = 0 có hai nghiệm phân biệt. Đồ thị sẽ có dạng hình 3 khi a.d > 0 và y = 0 vô nghiệm. Đồ thị sẽ có dạng hình 4 khi a.d < 0 và y = 0 vô nghiệm.• Các hình 1 và 2 minh họa đồ thị hàm số có điểm cự đại và điểm cực tiểu.• Các hình 3 và 4 minh họa hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)trên mỗi khoảng xác định của nó. 3 y y x x x0 x0 O O Hình 2 Hình 1 y y x x O x0 O x0 Hình 3 Hình 4(Chú ý: Ở đây tùy theo các số a, b, c, d, e mà hệ trục Oxy có thể tịnhtiến lên xuống hay sang trái sang phải) 4 Từ 4 dạng đồ thị của hàm số (1) ta có nhận xét sau: a) Trường hợp 1 hàm số (1) luôn đồng biến hay luôn nghịch biến trênmỗi khoảng xác định của nó (hình 3, 4) khi và chỉ khi đồ thị của nó cắt trụchoành tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía khác nhau của tiệm cận đứngx = x0 tức là phương trình F(x) = 0 hay phương trình f(x) = ax2 + bx + c =0 có hai nghiêm phân biệt x1 , x2 sao cho x1 < x0 < x2 .Vậy trường hợp 1này xảy ra khi và chỉ khi af(x0) > 0 b) Trường hợp 2 hàm số (1) sẽ có cực đại và cực tiểu (hình 1, 2) khivà chỉ khi đồ thị của n ...