Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ

Luận án "Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ" tập trung nghiên cứu tính chất định tính của nghiệm dương của phương trình Lichnerowicz phân thứ, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm trên dương của phương trình và hệ phương trình LaneEmden phân thứ. Ngoài ra, luận án cũng tập trung chứng minh sự không tồn tại nghiệm trên dương của lớp phương trình và hệ phương trình elliptic phân thứ chứa số hạng gradient.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chất định tính nghiệm của một số lớp phương trình elliptic và parabolic phân thứ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ------  ------ NGUYỄN THỊ QUỲNH TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH NGHIỆMCỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PARABOLIC PHÂN THỨ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9.46.01.03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà NộiCán bộ hướng dẫn: PGS. TS. Nguyễn Như ThắngPhản biện 1: GS.TSKH. Đoàn Thái Sơn Viện Toán họcPhản biện 2: PGS.TS. Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà NộiPhản biện 3: PGS.TS. Đỗ Đức Thuận Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Hà Nội, hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU1. Tổng quan vấn đề nghiên cứuTrong những năm gần đây, các nhà toán học trên thế giới dành sự quan tâm đến các phương trình đạohàm riêng loại elliptic và parabolic không địa phương, mà một số phương trình tiêu biểu chứa toán tửLaplace phân thứ, hay p-Laplace phân thứ,... nhờ những ứng dụng trong vật lí, sinh học, tài chính....Tính không địa phương của phương trình có thể tới từ số hạng không gian như toán tử Laplace phânthứ, hoặc đạo hàm không địa phương theo biến thời gian (đạo hàm phân thứ, đạo hàm không địaphương,... đối với phương trình kiểu parabolic). Ta biết rằng toán tử Laplace phân thứ được định nghĩa như một toán tử không địa phương trênkhông gian các hàm giảm nhanh bởi u(x) − u(ξ) Z (−∆)s u(x) = cN,s P.V. N +2s dξ R |x − ξ| N u(x) − u(ξ) Z = cN,s lim dξ, ε→0 RN \Bε (x) |x − ξ|N +2sở đây cN,s là hằng số chuẩn hoá và P.V. là giá trị chính Cauchy. Mặt khác, toán tử Laplace phân thứcòn được định nghĩa thông qua biến đổi Fourier F ((−∆)s u) (ξ) = |ξ|s Fu(ξ),với Fu là biến đổi Fourier của hàm u. Hơn nữa, ta có thể mở rộng định nghĩa của toán tử Laplacephân thứ theo nghĩa phân phối trên không gian |u(x)| Z N 1 N Ls (R ) = u ∈ Lloc (R ); N +2s dx < ∞ . RN (|x| + 1)Ngoài ra, nếu u ∈ C 2σ (RN ) ∩ Ls (RN ) với σ > s, thì (−∆)s u(x) xác định tại mọi x ∈ RN . Cho đến nay, đã có nhiều kết quả về tính chất định tính cho nghiệm của các phương trình đạohàm riêng chứa toán tử Laplace như sự tồn tại duy nhất nghiệm, tính chính qui, tính ổn định.... Tuynhiên, các kết quả tương tự cho các phương trình không địa phương chứa toán tử Laplace phân thứ,p-Laplace phân thứ vẫn còn rất hạn chế bởi các khó khăn khi phải làm việc với toán tử không địaphương. Khó khăn này đòi hỏi cách tiếp cận mới cho các bài toán không địa phương và các phươngtrình chứa toán tử Laplace phân thứ trở thành một trong những chủ đề quan trọng trong chuyênngành. Chủ đề thứ nhất được nghiên cứu trong luận án là phương trình Lichnerowicz phân thứ vt + (−∆)s v = v −p−2 − v p trong RN × R (1)và phương trình elliptic tương ứng (−∆)s u = u−p−2 − up trong RN , (2)ở đó p > 0 và 0 < s < 1. 1 Nhắc lại rằng, trường hợp s = 1, (1) và (2) trở thành vt − ∆v = v −p−2 − v p trong RN × R (3)và phương trình elliptic tương ứng −∆u = u−p−2 − up trong RN . (4)Các phương trình này được biết đến với tên gọi phương trình Lichnerowicz. Gần đây, phương trìnhkiểu Lichnerowicz nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Trong Ma và Xu (2009), Ma (2010), người ta chứng minh rằng nếu p > 1 thì phương trình (4) chỉcó nghiệm dương tầm thường u = 1. Kết quả này sau đó được chứng minh lại bởi Brezis (2011) bằngcách sử dụng một kiểu nguyên lí cực trị và lí thuyết Keller-Osserman. Hơn nữa, trong Brezis (2011)người ta còn chỉ ra rằng nếu 0 < p ≤ 1 thì (4) có nghiệm dương không tầm thường. Dựa vào kết quảtrong Brezis (2011) cho (4), chúng tôi đặt câu hỏi tương tự cho trường hợp phương trình chứa toántử Laplace phân thứ. Chủ đề thứ hai trong luận án là nghiên cứu phương trình Lane-Emden phân thứ (−∆)s u = up trong RN . (5)và hệ Lane-Emden phân thứ  (−∆)s u = v p trong RN , (6) (−∆)s v = uq tro ...