Một vài bài tập hay về phương trình vô tỷ - TS. Nguyễn Phú Khánh

Với nội dung giải phương trình vô tỷ ở các dạng khác nhau trong một số bài tập hay về phương trình vô tỷ của TS Nguyễn Phú Khánh giúp bạn nâng cao kỹ năng giải các bài tập. Đồng thờicác bài tập này cũng giúp cho các thầy cô có thêm tài liệu để tham khảo chuẩn bị ra đề hoặc giúp đỡ học sinh ôn tập hiệu quả hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một vài bài tập hay về phương trình vô tỷ - TS. Nguyễn Phú KhánhT.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.net PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶDạng cơ bản 4 3 2 1Giải phương trình : − = − x2 4 x 2 2 1 4 − x x − 2 ≥ 0  2x ≥ 0 0 < x ≤ 4 4 3 2 1    − = − ⇔ 2 ⇔  ⇔ 2 ⇔ x=2 x 2 4 x 2 4 3 2 1  − = 4 3 4 2 1  − = 1− = 0  x − − +   x2 4  x 2      x2 4 x2 x 4  x+6Giải phương trình : x +6 x −9 + x −6 x −9 = 23Đặt t = x − 9, t ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 9 ≥ 9 t 2 − 4 = 0  t = 2  0 ≤ t < 3 t = 4Phương trình cho viết lại : 6 t + 3 + 6 t − 3 = t + 32 ⇔  2 ⇔  t 2 − 12t + 32 = 0 t = 8  t ≥ 3 • t = 2 ⇔ x − 9 = 2 ⇔ x = 13• t = 4 ⇔ x − 9 = 4 ⇔ x = 25• t = 8 ⇔ x − 9 = 8 ⇔ x = 73Vậy phương trình cho có 3 nghiệm x = 13, x = 25, x = 73 2Giải phương trình : = 1 + 3 + 2x − x 2 x +1 + 3 − x x +1 ≥ 0Điều kiện để phương trình có nghĩa :  ⇔ −1 ≤ x ≤ 3 . 3 − x ≥ 0Đặt t2 − 4t = x +1 + 3 − x , 2 ≤ t ≤ 2 2 ⇒ t2 = 4 + 2 ( x + 1)( 3 − x ) = 4 + 2 3 + 2x − x 2 ⇒ 3 + 2x − x 2 = 2 t2 − 4 ⇔ t 3 − 2t − 4 = 0 ⇔ ( t − 2 ) ( t 2 + 2t + 2 ) = 0 (*) 2 2 = 1 + 3 + 2x − x 2 ⇔ = 1 + x +1 + 3 − x t 2Vì t 2 + 2t + 2 > 0 nên (*) ⇔ t = 2 ⇔ x + 1 + 3 − x = 2 ⇔ ( x + 1)( 3 − x ) = 0 ⇔ x = −1, x = 3Chú ý : Cho hai số a ≥ 0, b ≥ 0 nếu t = a + b thì a + b ≤ t ≤ 2 ( a + b ) ( Đại số 9)Dễ thấy AM − GMt = a + b ⇔ t 2 = a + b + 2 ab ⇔ a + b ≤ t 2 = a + b + 2 ab ≤ 2 (a + b) ⇔ a + b ≤ t ≤ 2 (a + b)AM − GM viết tắt bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân.T.s Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt http://www.toanthpt.netGiải phương trình : ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 (1)( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 + 2x + 1 ⇔ ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2 ( x 2 + 1) + 1Đặt t = x 2 + 1, t ≥ 1Phương trình (1) ⇔ ( 4x − 1) t = 2t 2 + 2x − 1 ⇔ 2t 2 − ( 4x − 1) t + 2x − 1 = 0 ⇔ ( 2t − 1)( t − 2x + 1) = 0  1 2x − 1 > 0  1 t = 2 < 1 ⇔   x > 4⇔ 2 ⇔  2 ⇔x=   x + 1 = ( 2x − 1) 2 3x 2 − 4x = 0 3  t = 2x − 1  Giải phương trình : 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1) 4Điều kiện để phương trình có nghĩa : 2 x − x 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 2 . 1 + 2x − x 2 + 1 − 2x − x 2 = 2 (1 − x ) ( 2x 2 − 4x + 1) 4 (⇔ 1 + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 1 − 1 − ( x 2 − 2x + 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x 2 − 2x + 1) − 1 4 )⇔ 1 + 1 − ( x − 1) + 1 − 1 − ( x − 1) = 2 (1 − x ) 2 ( x − 1) (*) 2 2 ...