Phương pháp quy nạp toán học

Tài liệu tham khảo cho các bạn học sinh có tư liệu ôn thi tốt đạt kết quả cao trong các kì thi sắp tới. Tài liệu được trích từ các trường Phổ thông và Trung học cho các bạn có nguồn tư liệu phong phú.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp quy nạp toán học 1Tröôøng Ngoaïi Ngöõ Vaø Boài Döôõng Vaên Hoùa Thaêng Tieán – Thaêng Long DAÕYSOÁ §1.PHÖÔNGPHAÙPQUYNAÏPTOAÙNHOÏCBAØI TAÄP CÔ BAÛNBaøi1. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù : n(n + 1)1) 1 + 2 + 3 + ...... + n = 2 n(3n − 1)2) 1 + 4 + 7 + ...... + (3n − 2) = 2 n3) 1 + 3 + 9 + ...... + 3n −1 = 3 − 1 2 n+2 123 n + + + ...... + = 2−4) 248 n 2n 2 n(n + 1)(2n + 1)5) 12 + 22 + 32 + ....... + n2 = 6 26) 12 + 22 + 32 + ....... + (2n − 1)2 = n(4n − 1) 3 2n(n + 1)(2n + 1)7) 22 + 42 + 62 + ...... + (2n)2 = 3 2 28) 13 + 23 + 33 + ...... + n3 = n (n + 1) 4Baøi2. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù :1) 1 + 3 + 5 + ...... + (2n − 1) = n22) 2 + 4 + 6 + ...... + 2n = n(n + 1)3) 1.2 + 2.5 + 3.8 + ...... + n(3n − 1) = n2 (n + 1)4) 1.4 + 2.7 + 3.10 + ...... + n(3n + 1) = n(n + 1)2 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)5) 1.2.3 + 2.3.4 + ...... + n(n + 1)(n + 2) = 46) 1.3.5......(2n − 1).2n = (n + 1)(n + 2)......2nBaøi3. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù : 1 1 1 1 n + + + ...... + =1) (2n − 1).(2n + 1) 2n + 1 1.3 3.5 5.7 1 1 1 1 n + + + ...... + =2) (3n − 2).(3n + 1) 3n + 1 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) 1 1 1 + + ...... + =3) n.(n + 1).(n + 2) 4(n + 1)(n + 2) 1.2.3 2.3.4Baøi4. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n n 2 , ta luoân coù : n+1 1 1 11) (1 − )(1 − )......(1 − 2 ) = 4 9 2n n n +12) 12 − 22 + 32 − ...... + (−1)n −1.n2 = (−1) .n(n + 1) 2Baøi5. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù : xn − 1 = (x − 1) (xn −1 + xn − 2 + ...... + x + 1)Baøi6. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n, ta luoân coù :1) 7n − 1 M 6 2) 11n − 1 M102 Chöùng Minh Quy Naïp (n3 + 2n) M 3 (4n + 15n − 1) M 93) 5) (n5 − 6n) M 5 62n + 10.3n M114) 6)Baøi7. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù : 4n +1 + 52n −1 M 21 9n − 1 M 81) 5) 6) 11n +1 + 122n −1 M133 n3 + 11n M 62) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) M 24 7) n7 − n M 73) n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 M 9 8) (7n + 3n − 1) M 94)Baøi8. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù :1) 5n2 − 6n +1 2) 11n2 − 14n +1 1 0 3 0Baøi9. Chöùng minh raèng : | sin nx| n n sin x vôùi x π [0; π ] , n n N * .Baøi10. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân n, ta luoân coù : 2n > 2n + 1, ∀,1) 3 n 2n − 3 > 3n − 1 , ∀n 8 6) 3n +1 > 3n + 4 , ∀n 22) n ! > 3n , ∀n 7 7) 2n > n2, ∀n3) 5 5 n n − (n + 1)n −1 8) 3n −1 > n(n + 2) , ∀n 44) (n !)2 n n n 9)5)Baøi11. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá nguyeân döông n, ta luoân coù : 1 ...