Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Tài liệu luyện thi ĐH môn Toán 2015 về "Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2)" cung cấp kiến thức lý thuyết và 1 số bài tập ví dụ có kèm theo hướng dẫn giải. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu sau để ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi Đại học 2015 cũng như các kỳ thi Đại học sau này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luyện thi ĐH môn Toán 2015: Bài toán khoảng cách trong hàm số (Phần 2) - Thầy Đặng Việt HùngKhóa h c LT H môn Toán 2015 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung95BÀI TOÁN KHO NG CÁCH TRONG HÀM STh yIII. T NG KHO NG CÁCH N HAI TR C T A- P2ng Vi t HùngGi s có th hàm s y = f(x) trong ó f(x) hàm phân th c b c nh t. Bài toán t ra là tìm i m M thu c th có t ng kho ng cách t M n hai tr c t a Gi s M ( a; f ( a) ) , t ng kho ng cách t M n các tr c t a là d = a + f (a) M 0 ( 0; y0 ) G i  là giao i m c a  M 0 ( x0 ;0 ) Ox, Oy nh nh t.th và tr c Ox ho c Oy (thông thư ng ta l y giao v i tr c Ox).Khi ó d = y0 = k > 0 a 1).Khi 0 ≤ xo < 1  d = xo − →nh hơn 1, ta ch c n xét hàm d khi |xo| < 1, (vì khi |xo| > 1 xo = −1 2 xo − 1 3xo + 1 9 x 2 + 6 xo − 3 =  d ′ = o → =0⇔  2  xo = 1 3xo + 1 3 xo + 1 ( 3xo + 1)  3  1 2 L p b ng bi n thiên ta ư c d min = d   = . 3 3Khi −1 < xo < 0  d = − xo − →2 xo − 1 −3 xo − 2 xo + 1 −4 =  d ′ = → 2  d = a + →NG VI T HÙNGFacebook: LyHung952a − 4 ≥ a > 2  d > 2, ∀ a > 2 → a +1 2a − 4 2a − 4 2a − 4 2a − 4 N u > 2  d = a + → ≥ > 2  d > 2, ∀ → >2 a +1 a +1 a +1 a +1a ≤2 1  Do ó, tìm GTNN c a d, ta ch xét :  2a − 4 ⇔ ≤ a ≤ 2. , (*) 2 ≤2   a +1 1 4 − 2a 6 6 V i < a < 2  d = a + → =a−2+ = a +1+ − 3 ≥ 2 6 − 3, 2 a +1 a +1 a +1 D u “=” x y ra khi a = 6 − 1 (th a mãn (*)).(2)T (1), (2) suy ra d min = 2 6 − 3 ⇔ a = 6 − 1  M →V y i m M c n tìm là M =(6 − 1; 2 − 6)(6 − 1; 2 − 6)IV. KHO NG CÁCH GI A HAII M TRÊN HAI NHÁNH C ATHg ( x) k . =α+ h( x ) x−a th có ti m c n ng x = a, khi ó ph n th n m bên ph i x = a ư c g i là nhánh trái c a n m bên ph i ư ng x = a ư c g i là nhánh ph i c a th . G i M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) tương ng là các i m thu c nhánh trái và nhánh ph i c a th . Gi s có th hàm s y = f ( x) =a − x1 > 0 Khi ó x1 < a < x2 ⇔   x2 − a > 0 Kho ng cách gi a hai i m MN ư c cho b i MN =th , ph nth( x2 − x1 )2+ ( y2 − y1 ) =2( x2 − x1 )2 k k  + −   x2 − a x1 − a 2t1 = a − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − a = −t1 ⇔ t  t2 = x2 − a ⇒ t2 > 0  x2 − a = t2 Thay vào bi u th c tính MN và dùng Cô-si ánh giá ta thu ư c MNmin. x+3 Ví d : [ VH]. Cho hàm s y = , (C ) . x−3 Tìm trên (C) hai i m A, B thu c hai nhánh khác nhau sao cho dài AB ng n nh t . Hư ng d n gi i: x+3 6 Ta có y = =1+ x −3 x−3 6   6  G i A  x1 ;1 +  ; B  x2 ;1 +  là các i m thu c x1 − 3   x2 − 3  th hàm s ⇒ AB = ( x2 − x1 )22 6 6  + −   x2 − 3 x1 − 3 23 − x1 > 0 Gi s A thu c nhánh trái và B thu c nhánh ph i, khi ó x1 < 3 < x2 ⇔   x2 − 3 > 0 t1 = 3 − x1 ⇒ t1 > 0  x1 − 3 = −t1 t  ⇔ ⇒ x2 − x1 = t2 + t1 t2 = x2 − 3 ⇒ t2 > 0  x2 − 3 = t2Ta có AB = ( t2 + t1 )22 6 6 36 36 72  2 36   2 36   72  2 +  +  = t12 + t2 + 2 + 2 + 2t1t2 + =  t1 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  t1t2  t1t2  t1 t2 t1   t2    t2 t1 2Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vnt i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th yt12 +NG VI T HÙNGFacebook: LyHung9536 36 ≥ 2 t12 . 2 = 12 t12 t1 36 2 36 ≥ 2 t2 . 2 = 12 2 t2 t2 72 72 ≥ 2 2t1t2 . = 24 t1t2 t1t2Theo b tng th c Cô-si ta có2 t2 +2t1t2 + 36   2 36   72  Khi ó AB 2 =  t12 + 2  +  t2 + 2  +  2t1t2 +  ≥ 12 + 12 + 24 = 72 ⇒ AB ≥ 6 2 t1t2  t1   t2     2 36 t1 = 2 t1 t1 = 6   A 3 − 6;1 − 6     2 36   t1 = 6  x1 = 3 − 6  ⇒ ABmin = 6 2 ⇔ t2 = 2 ⇔ t2 = 6 ⇔  ⇔   → t2 t2 = 6  x2 = 3 + 6  t t = 6  A 3 + 6;1 + 6     12  72 2t1t2 = t1t2  ( () )V. M T SBÀI TOÁN KHO NG CÁCH K T H P V I TƯƠNG GIAOCho hàm sHai Gi s(C ) : y =ax + b và ư ng th ng d : y = mx + n. cx + dth c t nhau t i hai i m phân bi t A, B khi phương trìnhA ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB )ax + b d = mx + n có hai nghi m phân bi t khác − . cx + d c là các giao i m, khi ó A ( xA ; mxA + n ) , B ( xB ; mxB + n )2 AB = →( x A − xB )2+ ( y A − yB ) =( x A − xB )2+m2( x A − xB )2=(m22 + 1  ( x A + xB ) − 4 x A x B   )x A − xBm2 + 1giao i m ta ư c k t qu c a bài toán.  −b + ∆  xA = ∆ 2 ∆′  2a Ngoài cách bi n i trên ta có th th c hi n như sau :   xA − xB = → = a a −b − ∆ x =  B 2a  ∆ 2 ∆′ Khi ó AB = x A − xB m 2 + 1 = . m2 + 1 = . m2 + 1 a aS d ng Vi-ét cho phương trình hoành()2x + 4 . 1− x G i d là ư ng th ng i qua M(1; 1) có h s góc là k .Tìm k d c t (C) t i hai i m A, B sao cho AB = 3 10. Hư ng d n gi i: ư ng th ng d qua M(1; 3) và có h s góc k nên d : y = k(x −1) + 1. 2x + 4 Phương trình hoành giao i m: = kx + 1 − k ⇔ g ( x) = kx 2 + ( 3 − 2k ) x + k + 3 = 0, (1) 1− x hai th c t nhau t i hai i m A, B phân bi t thì (1) có hai nghi m phân bi t khác 1. k ≠ 0 k ≠ 0  k ≠ 0 2  Ta có i u ki n: ∆ = ( 3 − 2k ) − 4k ( k + 3) > 0 ⇔  ⇔ 9 ( *) 9 − 24k > 0 k <  g (1) = 6 ≠ 0  24  V i i u ki n (*) thì d c t (C) t i hai i m A, B. 3k − 3 3   x1 + x2 = k = 3 − k  Theo nh lí Vi-ét ta có  x x = k + 3 =1+ 3  1 2 k k Ví d 1: [ VH]. Cho hàm s(C ) : y =Tham gia tr n v n khóa LT H môn Toán 2015 t i Moon.vnt i m s cao nh t trong kỳ TS H 2015!Khóa h c LT H môn Toán 2015 – Th yNG VI T HÙNGFacebook: LyHung952G i A ( x1 ; kx1 + 3 − k ) ; B ( x2 ; kx2 + 3 − k ) ⇒ AB =( x2 − x1 )2+ k 2 ( x2 − x1 ) =(k22 + 1) ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2   2  3 12  Theo gi thi t ta có AB = 3 10 ⇔ AB 2 = 90 ⇔ ( k 2 + 1)  3 −  − 4 −  = 90 k k   ⇔ ( 9 − 24k ) ( k 2 + 1) = 90k 2 ⇔ 24k 3 + 81k 2 + 24k + 9 = 0 ⇔ 3 ( k + 3) ( 8k 2 + 3k − 1) = 0 k = −3  k = −3   2 → ⇔  k = −3 ± 41 8k + 3k − 1 = 0  16 (**)V y v i k th a mãn (**) ...